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學習重點 掌握「圓心到弦的垂線平分弦」，能將弦長問題轉成直角三角形問題。 熟用「半徑平方＝半弦長平方＋弦心距平方」，求半徑、弦長或弦心距。 理解兩弦互相垂直時，交點未必是圓心；能用弦心距或「四段平方和」求出直徑。 將鐘擺的擺長視為半徑，能判讀弦長、圓心角、弧長與高度差。 由半徑或直徑計算圓周長，並能寫出有依據、單位完整的申論解答。 核心觀念 一、弦、半徑與弦心距 弦是連接圓上兩點的線段；通過圓心的弦稱為直徑，也是圓中最長的弦。弦心距是圓心到弦所在直線的垂直距離，不是圓心到弦上任意一點的距離。 設圓心為 O，弦為 AB，從 O 向 AB 作垂線，垂足為 M，則 AM＝BM。連接 OA 後，三角形 OMA 為直角三角形，其中 OA 是半徑，也是斜邊。 令半徑為 r、整條弦長為 L、弦心距為 d，則： r²＝d²＋(L÷2)²求弦心距：d＝√［r²－(L÷2)²］。求弦長：L＝2√(r²－d²)。求半徑：r＝√［d²＋(L÷2)²］。 例如半徑為 10、弦長為 16，應先將弦長折半為 8，再算 d²＝10²－8²＝36，得到弦心距為 6。這是常見的 6、8、10 直角三角形。其他常見整數組還有 3、4、5 與 5、12、13，看到這些數字可加速判斷。 在同一圓或等圓中，半徑固定，弦越長，弦心距越短；等弦的弦心距相等。當 d＝0 時，弦通過圓心，L＝2r。 二、兩弦垂直：先定位圓心，再用畢氏定理 設兩弦 AB、CD 垂直相交於 P。直角在 P，不能因此認定 P 就是圓心。圓心應位於兩弦的垂直平分線交點。解題時可先標出兩弦中點 M（AB 的中點）、N（CD 的中點），則 O、M、P、N 四點圍成一個長方形： O 到 AB 的弦心距 OM＝PN（P 到 CD 中點的距離）。 O 到 CD 的弦心距 ON＝PM（P 到 AB 中點的距離）。 若兩弦長度都為 L，令其中一弦 AP＝x、PB＝L－x，則其中點與 P 的距離為 |L÷2－x|。由於兩弦等長，弦心距相等；再由上述長方形關係，可得每條弦的弦心距都是 |L÷2－x|。因此： r²＝(L÷2)²＋(L÷2－x)²。 若總長 24 公尺的繩子平分為兩段，每段長 12 公尺，拉直後便是兩條長 12 公尺的弦，各自的半弦長為 6 公尺。若圖上標示某一弦端點到交點的距離為 x，則： r＝√［36＋(6－x)²］，直徑 D＝2√［36＋(6－x)²］。 注意 x 必須是「交點到弦端點」的長度，才能直接代入上述式子。若圖上給的是弦心距、中點到交點的距離，或其他線段，應先辨認線段意義，再選擇公式。 三、垂直弦的另一種算法：四段長度求直徑 若垂直相交的兩弦被交點 P 分成四段，設 PA＝a、PB＝b、PC＝c、PD＝d，則有： D²＝a²＋b²＋c²＋d²，r＝√(a²＋b²＋c²＋d²)÷2。 推導：AB 的半弦長為 (a＋b)÷2，AB 的弦心距等於 P 到 CD 中點的距離 |c－d|÷2，故 r²＝［(a＋b)²＋(c－d)²］÷4。又因圓內相交弦滿足 ab＝cd，展開後即得 4r²＝a²＋b²＋c²＋d²。 使用時，四個長度必須是同一交點分出的四段，而且兩弦確實垂直。若只知道其中一段，須搭配整條弦長、相交弦定理 ab＝cd 等條件，先求出其餘線段。兩種算法（弦心距法、四段平方和法）結果必相同，可互相驗算。 四、鐘擺問題：擺長是半徑 把鐘擺固定點設為 O，最低點設為 A，則 OA 等於擺長 r。擺錘運動時，擺長保持不變，因此 OB＝OC＝OA＝r，擺錘軌跡是以 O 為圓心的圓弧，B、C 之間的連線是一條弦。 弦長等於半徑時，三角形為正三角形：若擺長 12、BC＝12，則 OB＝OC＝BC＝12，△OBC 是正三角形，∠BOC＝60°。由此可再求： 弧長 BAC＝2πr×(60÷360)＝2π×12÷6＝4π。 O 到 BC 的弦心距＝√(12²－6²)＝√108＝6√3。 B、C 高於最低點 A 的高度＝12－6√3。 一般情形下，若 B、C 兩側等高，BC＝s，則 B、C 高於 A 的高度為： h＝r－√［r²－(s÷2)²］。 若已知的是單側水平位移 x，則直接使用 h＝r－√(r²－x²)，不必再將 x 折半。圖中的數字代表整條弦、半弦或其他線段，必須依標示判讀，不能只看數字相同便代入。 弦長與半徑的關係圓心角三角形特徵 弦長＝r60°正三角形 弦長＝√2 r90°等腰直角三角形 弦長＝√3 r120°頂角 120° 的等腰三角形 弦長＝2r180°弦即直徑 五、求出半徑後，再換算圓周長與弧長 已知量公式注意事項 半徑 r圓周長 C＝2πr半徑須先乘 2 直徑 D圓周長 C＝πD不可再多乘一次 2 半徑 r、圓心角 θ弧長＝2πr×(θ÷360°)圓心角要先由弦長與半徑判斷 申論作答宜依序寫出「半弦長與弦心距」、「畢氏定理」、「半徑或直徑」、「圓周長」，每一步註明依據，最後答案附上單位（如公尺）。若題目未指定 π 的近似值，通常保留含 π 的精確答案；中途也宜保留根號，避免過早取近似值。 常考陷阱 直接拿整條弦長平方：半徑、弦心距組成的直角三角形只包含半條弦；弦長 16 應使用 8，否則會算出錯誤的弦心距。 加減方向顛倒：半徑是斜邊。求半徑用平方和，求弦心距或半弦長用平方差。 把兩弦交點當成圓心：互相垂直只保證夾角為直角，不保證任何一條弦是直徑；直接把交點到端點的距離當半徑是常見錯誤選項。 認為等弦一定互相平分：等弦能推出弦心距相等，不能直接推出交點是各弦中點。 把整條繩長當成單條弦長：總長 24 公尺平分後，每弦為 12 公尺，半弦為 6 公尺。 漏掉平方根或最後除以 2：四段長度平方和求得的是直徑平方；開根號後得到直徑，求半徑還要除以 2。選項常同時放「直徑」與「半徑」的數值，要看清題目問哪一個。 沒看出正三角形：擺長與弦長相等時，圓心角就是 60°，不必再用畢氏定理繞路。 把鐘擺高度當成弦心距：端點到最低點的高度是「擺長減去弦心距」。 混淆弦長與弧長：弦是直線距離，擺錘沿圓弧運動；弧長要用圓心角比例計算，兩者不能互換。 周長公式重複乘 2：已求出直徑時用 πD，已求出半徑時用 2πr。 記憶口訣 「圓心垂弦，弦分兩半；半徑平方，兩股相加。」 「垂弦四段，平方和開根得直徑；半徑乘二π，直徑直接乘π。」 「弦等半徑，三邊相等六十度。」