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學習重點 能用直式除法將分數化成小數，從餘數重複辨認循環節及其長度。 掌握「小數點後第幾位」的計數方式，將指定位置對應到循環節中的數字。 利用位數除以循環節長度的餘數，快速判定很後面的小數位，不必逐位計算。 分辨純循環小數與混循環小數，遇到不循環的前段時，先扣除前段位數再定位。 核心觀念 一、分數化小數：循環的根源是餘數重複 將分數化成小數，就是用分子除以分母。每算出一位小數，便將餘數乘以 10，繼續除以分母；所得的商，就是下一位小數的數字。 以 5/7 為例，因為 5 小於 7，整數部分為 0。小數部分依序計算如下： 小數位置除法計算該位數字餘數 第 1 位50 ÷ 7＝7 餘 171 第 2 位10 ÷ 7＝1 餘 313 第 3 位30 ÷ 7＝4 餘 242 第 4 位20 ÷ 7＝2 餘 626 第 5 位60 ÷ 7＝8 餘 484 第 6 位40 ÷ 7＝5 餘 555 算完第 6 位後，餘數又回到起初的 5，因此接下來會重複相同的除法過程。故 5/7＝0.714285714285……，循環節為 714285，循環節長度為 6。 判斷循環時，應看餘數是否重複，不能只看某個商是否再次出現。商相同，後面的計算未必相同；餘數相同，後續各位數才會依相同順序重現。若餘數變成 0，除法便結束，所得為有限小數。 補充：分母為 7 時，可能的非零餘數只有 1～6 共 6 種，所以循環節長度最多是 6；凡是分母為 7 的真分數（1/7～6/7），循環節長度都是 6，且都由 1、4、2、8、5、7 這六個數字依同一順序繞圈排列，只是起點不同。 二、指定小數位：把大位數縮成循環節內的位置 對於從小數第 1 位就開始循環的數，若循環節長度為 L，要求小數點後第 n 位，可先算 n ÷ L。設 n＝L × q＋r，其中 0 ≤ r ＜ L。 r 不為 0：取循環節中的第 r 個數字。 r＝0：取循環節中的最後一個數字，也就是第 L 個數字。 商 q 表示完整循環的組數，餘數 r 才是定位的關鍵。例如循環節長度為 6，每經過 6 位就回到相同的位置，所以不論目標位數多大，都能化成循環節內的位置來判斷。 位數除以 6 的餘數在循環節 714285 中的位置對應數字 1第 1 個7 2第 2 個1 3第 3 個4 4第 4 個2 5第 5 個8 0第 6 個5 例如 2014＝6 × 335＋4，表示先走完 335 組循環，再走到下一組的第 4 個數字。循環節 714285 的第 4 個數字是 2，因此 5/7 小數點後第 2014 位的數字為2。 快速驗算餘數：除以 6 的餘數可同時用「除以 2」與「除以 3」檢查。2014 是偶數；各位數字和 2＋0＋1＋4＝7，除以 3 餘 1。在 0～5 中，同時為偶數且除以 3 餘 1 的只有 4，與直接計算一致。 三、位數從小數點右邊開始數 「小數點後第 1 位」就是十分位，第 2 位是百分位，第 3 位是千分位。整數部分的 0 與小數點都不列入計數。例如 0.714285……的第 1 位是 7，第 6 位是 5，第 7 位又回到 7。 若自行畫循環節位置表，建議直接標成 1、2、3、……、L，與題目的位數用語保持一致，可避免把第 1 位誤當成第 0 位而整體錯移。 四、循環前有不循環數字時，要先扣除 純循環小數從小數第 1 位便開始循環，例如 0.714285714285……；混循環小數則先有一段不循環的數字，之後才開始循環，例如 1/6＝0.1666……，其中第 1 位的 1 不屬於循環節，循環節是 6。 若不循環部分有 k 位，要求第 n 位時，先判斷該位置是否落在前段。當 n ＞ k，應以n－k除以循環節長度，再依餘數定位；若 n ≤ k，直接讀取前段數字即可，不能套用循環節。 五、解題標準流程 看清分數，用直式除法算到餘數重複，寫出循環節與長度 L。 確認是否有不循環的前段，有則先扣除其位數。 將（扣除後的）位數除以 L，求餘數 r。 r 不為 0 取循環節第 r 個數字；r＝0 取最後一個數字。 以求得的數字核對選項。 常考陷阱 把分母當成循環節長度：分母是 7，不代表每 7 位循環。應先用除法確認，本例實際是每 6 位循環。 背對數字，卻背錯起點：1/7＝0.142857……，5/7＝0.714285……。兩者雖使用相同的六個數字，排列起點不同，指定位置的答案也不同，不能直接套用另一個分數的循環節。 把餘數直接當成答案：2014 除以 6 餘 4，表示取循環節的第 4 個數字，不表示答案就是 4。選項中刻意放入 4，正是要測這個混淆。 餘數為 0 時誤取第一個：整除代表恰好走完一整組，應取最後一個數字；再往後一位，才回到第一個數字。 將位置多移或少移一格：採用「n 除以循環節長度」的方法時，餘 1 就取第 1 個，餘 2 就取第 2 個，不必再加 1。若誤移一格，就會選到相鄰的 4 或 8。 只憑選項猜循環節：選項 2、4、5、7 全都是循環節 714285 中的數字，無法用「不在循環節中」來刪去，必須確實完成「算餘數、查位置、讀數字」。 沒有確認原分數便沿用答案：若分數以圖片呈現，須先看清分子、分母，再依同樣流程計算，不能只因指定位數或選項相同就直接套用答案。 記憶口訣 先找循環，再除位數；有餘對位，整除取尾。 前段不循環，扣完再來算；餘數是位置，對照才是數字。