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學習重點 分清體積與表面積：體積是立體占有的空間大小，表面積是形體表面各部分的面積總和。挖除後體積一定減少，表面積卻不一定減少。 同時追蹤「消失的面」與「新增的面」：挖除會使部分原有表面消失，也會讓原本藏在內部的面暴露出來，兩者要一起比較。 挖除位置決定增減：同樣挖去一個小立方體，挖在頂角、稜邊或面中央，表面積的變化都不同。 不必求出實際數值也能比較：先配對排除保留的相同表面，再比較新增與消失部分的面積。 申論回答要兼顧診斷與教學：先具體指出學童的錯誤想法，再用著色、面積配對或實物操作，引導學童修正。 核心觀念 一、表面積看「面」，體積看「空間」 表面積是立體形體表面各部分的面積總和。挖出與外界相通的凹槽後，凹槽的內壁與底面也屬於形體的表面，不能因為它們位於凹進去的位置就漏算。立體圖上被遮住的背面、底面，也不能直接當成不存在。 體積則描述形體占有的空間大小。因此，挖走一塊立方體，可以確定剩餘形體的體積減少；但表面積還要檢查新露出的面，不能把體積的大小順序直接搬成表面積的大小順序。 二、用「保留、消失、新增」整理表面 比較挖除前後，可將表面分成三類：原本就存在且挖除後仍保留的面、因挖除而消失的原有表面，以及挖除後新暴露的面。關係為： 挖除後表面積＝原表面積－消失的表面積＋新增的表面積。 若只問增減或大小，不必求出原表面積，只要比較新增與消失的面積總和。 面積比較表面積變化判斷理由 新增面積＞消失面積增加新暴露的面補回損失後，仍有剩餘。 新增面積＝消失面積不變新增與消失的面積恰好抵銷。 新增面積＜消失面積減少新暴露的面不足以補回原有表面的損失。 這裡比較的是面積總和，不是單純比較面的個數。只有各面面積相等時，才能用面數代替面積比較。 三、挖除位置不同，表面積變化也不同 即使挖去同樣大小的立方體，也不能直接認定表面積變化相同。關鍵在於：被挖走的小立方體原本有幾個面露在外面（這些面會消失）？其餘貼在內部的面，挖除後就會變成新露出的面。小立方體共有 6 個面，所以新增面數＝6－原本露在外面的面數。 以從較大正方體挖去一個未貫穿的小正方體為例（各面皆為同樣大小的正方形）： 挖除位置消失的面新增的面表面積變化 頂角3 個3 個不變 稜邊中間（非頂角）2 個4 個增加 2 個小正方形 面的中央1 個5 個增加 4 個小正方形 由此可見，挖掉的部分越多，表面積不一定越小；在上述情形中，表面積只會不變或增加。這些例子用來說明判斷方法，實際作答仍須依圖形確認挖除位置、大小與是否貫穿，不能套用固定結論。若一次挖除多個相連的小立方體，要把它們視為一整塊，只看這一整塊與剩餘形體的接觸面及原本露在外面的面。 四、不計算實際數字的教學策略 策略一：著色與面積配對。將消失的面與新增的面分別著色，再一對一配對，讓學童看見面積如何轉移、增加或減少，而不是重新代公式計算。 先找共同部分：讓學童指出挖除前後保留不變的表面，說明這些面積相同，暫時不用比較。 標出消失部分：在原形體上，用同一顏色標示被挖除的原有表面。 標出新增部分：在挖除後的形體上，用另一種顏色標示新露出的內壁或底面。 進行面積配對：利用全等紙片、方格或透明片，將等面積的新增面與消失面配成一組；方向不同也可以轉動紙片比較。例如頂角挖除時，可讓學童看到凹進去的三個面，恰好可以「推平」補回原本消失的三個面。 依配對結果下結論：完全配完，表面積不變；新增面有剩，表面積增加；消失面有剩，表面積減少。 策略二：實物操作。用小立方體積木堆成大正方體，實際移走指定位置的積木，旋轉模型觀察新露出的面，再以貼紙或紙片覆蓋、計數比較。 策略三：展開或包裝紙比較。想像用包裝紙把形體的每個表面完整貼滿，比較所需紙張多少；若採展開方式，必須包含凹槽內壁，避免只展開原本外側的面。 比較多個形體時，先以共同的原形體為基準，逐一檢查各形體挖除造成的變化，再建立大小關係。 五、申論作答要點 診斷錯誤想法：要寫出學童具體的思考，例如「學童以體積大小判斷表面積，認為挖掉越多、形體越小，表面積就越小」，或「學童只扣除被挖掉的原有表面，忽略挖除後新露出的面」。 提出教學策略：不能只寫「使用教具」或「讓學生觀察」，應交代使用什麼、如何操作、根據什麼判斷。例如：「以積木堆成的模型讓學童移除指定的小立方體，分別以不同顏色標示消失與新露出的面，再用全等紙片配對；排除相同部分後，依剩餘面積比較三個形體表面積大小。」 常考陷阱 一、把「挖得越多」當成「表面積越小」 常見迷思是：「被挖掉的部分越多，剩下的形體越小，所以表面積越小。」這是將體積減少誤認為表面積減少。診斷時應明確指出學童只注意挖除量或外觀缺損，忽略新增的暴露面；只寫「不懂表面積」過於籠統。 二、只扣掉原有表面，沒有補回新增面 「少了一塊，所以少幾個面」只處理了消失部分。判斷關鍵是追問：「原本藏在裡面的哪些面，現在露出來了？」凹槽底面與側壁最容易被忽略。 三、把被挖走的小立方體六個面全部扣除 挖除前只有位於原形體外側的面才屬於原表面。原本與其他部分貼合的面不能扣除；挖除後，剩餘形體在貼合位置新露出的面反而要加入。 四、以圖上看見的面數或視覺大小判斷 透視圖中，同樣大的正方形可能畫成不同形狀，部分表面也會被遮住。應依題目條件、邊長與位置關係判斷，不能用圖面上看得見的面或看起來的大小代替實際面積。 五、違反「不計算實際數字」的限制 先逐一算出總表面積再排序，無法呈現題目要求的策略。應使用共同部分排除、全等面配對、紙片覆蓋或實物操作，說明不求總數也能判斷的理由。 記憶口訣 「同面先配掉，新舊再比較；挖掉看體積，表面看增減。」 「角挖不變，稜挖多二，面挖多四。」（以挖去一個小立方體、各面同大為前提） 看到挖除立體，依序問：哪些面保留？哪些面消失？哪些面新露出？最後比較新增與消失的面積，就能避免被外觀缺損誤導。