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學習重點 辨認生活情境中的等差數列：同一星期幾的相鄰日期相差7；數線上線段的等分點座標也形成等差數列。 熟用通項公式與求和公式，並以「項數乘以首末兩項平均」理解等差級數。 區分「等分的段數」「內部分點數」與「含端點的點數」，正確計算各分點座標及其總和。 以「總和＝平均數×人數」處理漏登成績，尤其要確認計算平均時的分母是否改變。 日期轉換為星期時，先算與已知日期相差幾天，再利用除以7的餘數判斷。 核心觀念 一、等差數列與等差級數的基本工具 若一串數中，後一項減前一項的差固定，就是等差數列；這個固定差稱為公差。設首項為a，公差為d，第n項為aₙ，前n項總和為Sₙ，則： 通項公式：aₙ＝a＋(n－1)d。 求和公式：Sₙ＝n(a＋aₙ)÷2＝n[2a＋(n－1)d]÷2。 整組數的平均數：Sₙ÷n＝(a＋aₙ)÷2。 公式中的n－1代表從首項走到末項所經過的間隔數。等差數列也具有對稱配對和相等的性質：首項加末項、第二項加倒數第二項，所得都相同。項數為奇數時，中間項就等於整組數的平均數；項數為偶數時，平均數等於中間兩項的平均。 二、同一星期幾的日期：公差固定為7 同一個月中，同一星期幾的相鄰兩次出現日期相差7天。若該月同一星期幾共有四天，設最早日期為x，四個日期即可表示為x、x＋7、x＋14、x＋21。 若四個日期總和為T，則T＝4x＋42，所以x＝(T－42)÷4。也可以用求和公式寫成T＝4[x＋(x＋21)]÷2，兩種方法完全相同。 例如總和為62，便有4x＋42＝62，解得x＝5，因此日期依序為5、12、19、26日。計算後應檢查：日期都是正整數、相鄰相差7、總和符合條件，而且均在該月範圍內。此例往前推一週為－2，不存在；往後推一週為33日，超過任何月份的天數，故該月的這個星期幾恰好只有這四天。 星期換算要算日期差，而不是直接數日期。若1日是星期二，5日與1日相差5－1＝4天，星期二往後推4天依序為星期三、四、五、六，所以這四天都是星期六。一般而言，已知r日的星期，要找s日的星期，就計算s－r，再除以7看餘數，按7天一循環往後推。 也可用平均數快速檢查：四個日期的平均為62÷4＝15.5，等於首末日期的平均(5＋26)÷2，也等於中間兩日期的平均(12＋19)÷2。平均日期不必是整數，更不必是其中一個日期。 三、數線線段等分點：先算間隔，再算座標 設數線上兩端點座標為p、q，將線段分成m等分，會得到m段、m－1個內部分點；若連兩端點一起計算，則共有m＋1個點。 由p朝q依序排列時，每走一段的座標變化量為d＝(q－p)÷m；第k個內部分點座標為p＋k(q－p)÷m，其中k＝1、2、……、m－1。這些座標形成等差數列，且公差可能為負數。 例如P座標28、Q座標－12，將線段PQ五等分。每段長度為｜－12－28｜÷5＝8；由P走向Q，座標每次減少8，因此座標變化量為－8，內部分點依序為20、12、4、－4，總和a＋b＋c＋d＝32。若改由Q向P標記，分點順序會相反，但總和不變。 只問內部分點總和時，可以利用對稱性。最靠近兩端的兩個內部分點相加，等於兩端點座標之和；所有內部分點的平均數也等於兩端點座標的平均數。因此： 內部分點總和＝(m－1)(p＋q)÷2。 在五等分的情況下，內部分點有4個，總和即為4×(28－12)÷2＝32，無須逐一算出座標。配對驗證：20＋(－4)＝16、12＋4＝16，兩組都等於28＋(－12)＝16。 四、等差成績與漏登數值：先求原總分，再確認分母 成績形成等差數列時，可先用人數求出最高分，再算原總分與原平均。例如25筆成績從51分起，每次增加2分，最高分為51＋24×2＝99，原平均為(51＋99)÷2＝75，原總分為25×75＝1875。 漏登一筆成績時，必須確認平均數使用的人數。設原有n人、原總分為S、漏登成績為x、漏登後顯示的平均為B，常見情況如下： 計算方式關係式漏登成績 漏登者未加入總分，仍除以原人數n(S－x)÷n＝Bx＝S－nB 刪去一筆資料，只計算其餘n－1人(S－x)÷(n－1)＝Bx＝S－(n－1)B 以上述成績資料而言，「全班25位的平均成績降低為72分」表示仍以25人為分母，漏登成績就是1875－25×72＝75分，也可直接算25×(75－72)＝75分。檢查：75＝51＋12×2，確實是數列中的第13項（正中間那一項）。 若改以24人為分母，則算出1875－24×72＝147，超出原成績51至99的範圍，與條件不符。因此作答時要依題意判斷分母，不能把兩種平均數的計算方式混用。 常考陷阱 把四個日期當成四個間隔：四個日期只有三個間隔，末項是x＋21，不是x＋28；四項相加時，增加量合計為7＋14＋21＝42。 把平均日期當成某一天：四項等差數列的平均可以是小數，不能因15.5不是整數就否定結果。 星期推算多算一天：從1日到5日經過4天，不是5天。先做日期相減，再推星期，可避免把星期六誤判成星期日。 五等分誤認為五個內部分點：五等分只有四個內部分點；含兩端點才有六個點。 把線段長度與座標變化量混淆：線段長度不為負，但從大座標走向小座標時，公差為負數。從28走向－12應每次減8，不能每次加8。 求分點總和時誤加端點：只求內部分點，就不能把原來兩端點一起納入（若誤加會得到48）；套求和公式前先確認項數。 最高分多加一次公差：25筆資料從首項走到末項，只增加24次，應用51＋24×2＝99，而不是51＋25×2＝101。 把平均下降量直接當成漏登成績：平均下降3分不代表漏登3分；分母維持25時，少掉的總分是25×3＝75。 算出答案卻不檢查範圍：漏登成績必須是原數列中的一項；超過最高分或低於最低分時，應回查人數、分母及題意解讀。 記憶口訣 「同星期，差七日；數星期，先算差。」 「分成幾段，除以幾；內點個數，少一個。」 「首末平均乘項數；漏登成績看分母。」