阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 分辨「魔方陣」與「百數表」：前者利用各行、各列及兩條主對角線的共同總和；後者利用固定排列下的數值差與中心對稱。 掌握以 1 到 n² 各使用一次的 n×n 魔方陣，其魔術和為 n(n²＋1)÷2。 理解標準百數表中，左右相鄰兩數差 1，上下相鄰兩數差 10，據此表示連續 3×3 方格內的九個數。 運用「九數總和＝中心數×9」反推中心數，再依位置求最大數、最小數或其他指定數。 核心觀念 一、先看數表的排列條件，再決定解法 方格外形相同，不代表數值規律相同。魔方陣的數字經過特殊安排，要求每一行、每一列及兩條主對角線的和都相等；百數表則依自然數順序排列，橫向與縱向具有固定差值。解題時先辨認條件，才能選對公式。 比較項目魔方陣標準百數表中的連續 3×3 方格 主要條件各行、各列及兩條主對角線的和相等向右增加 1，向下增加 10 求和依據全部數字總和平均分給 n 列（或 n 行）中心對稱的兩數之和等於中心數的 2 倍 關鍵公式魔術和＝n(n²＋1)÷2九數總和＝9×中心數 求指定位置視已知條件決定是否需要補格由中心數加減橫向、縱向差值 二、魔方陣的魔術和：全部總和除以列數 若 n×n 魔方陣將 1 到 n² 的整數各使用一次，先用等差數列求全部數字總和： 全部總和＝（首項＋末項）×項數÷2＝（1＋n²）×n²÷2。 設每一列的共同總和為 S。因為共有 n 列，而且每個數字恰好被計算一次，所以 nS＝全部總和，得到： S＝n(n²＋1)÷2。 這個 S 就是魔術和，也是每一行及每一條主對角線的和。推導時只需要把全部數字按列分組，不必先知道任何一格填什麼數。 以使用 1 到 16 的 4×4 魔方陣為例，全部總和為（1＋16）×16÷2＝136；分成 4 列，每列共同總和為 136÷4＝34。既然題設保證對角線的和也相等，一條主對角線的和便同樣是 34。也可直接代公式：4×(16＋1)÷2＝34。 因此，看到部分格子已有數字，應先判斷那些數字是否真的需要使用。若只求魔術和，通常由數字範圍與階數就能完成，無須補出整張方陣；表中已知的數字多半只是干擾或供後續小題使用。 常用階數的魔術和可順便記住：3×3 為 15，4×4 為 34，5×5 為 65。 三、百數表的九宮格：以中心數表示所有位置 標準百數表每一橫列排列 10 個連續整數，因此向右一格加 1，向左一格減 1；向下一格加 10，向上一格減 10。取其中連續三列、連續三行形成的 3×3 正方形，若中心數為 c，九個位置如下： c－11c－10c－9 c－1cc＋1 c＋9c＋10c＋11 例如，左上角由中心向上、向左各移一格，所以是 c－10－1＝c－11；右下角向下、向右各移一格，所以是 c＋10＋1＝c＋11；右上角向上、向右各一格，是 c－10＋1＝c－9；左下角是 c＋10－1＝c＋9。斜移一格的差值須合併橫向與縱向變化，不能只算其中一個方向。 四、中心對稱使九數總和等於中心數的九倍 以中心格為對稱中心，外圍八個數可以配成四組：左上與右下、上中與下中、右上與左下、左中與右中。每組相對位置的兩數，一個比中心多多少，另一個就比中心少多少，因此每組的和都是 2c。 四組相對數加上中心數，得到： 九數總和＝4×2c＋c＝9c。 也可以直接觀察位置表：各格相對於中心的增減量互相抵消，只留下九個 c。因此，這九個數的平均數就是中心數。已知九數總和 T 時，先算 c＝T÷9，即可進一步求出各格。若 T 不能被 9 整除，表示這樣的九宮格不存在。 五、由總和反推最大數與最小數 百數表的數字由左向右、由上向下增加，所以九宮格內的最大數在右下角，最小數在左上角。配合中心數公式，可直接得到： 中心數＝九數總和÷9。 最大數＝九數總和÷9＋11。 最小數＝九數總和÷9－11。 若九數總和為 468，中心數為 468÷9＝52，最大數便是 52＋11＝64（最小數則為 52－11＝41）。申論作答可寫：「設中心數為 c，九個數分別為 c－11、c－10、c－9、c－1、c、c＋1、c＋9、c＋10、c＋11，總和為 9c＝468，故 c＝52；最大數位於右下角，為 52＋10＋1＝64。」如此即可交代代數設定、公式依據與位置判斷。 常考陷阱 把全部總和當作一條對角線的和：1 到 16 的總和 136 是整張方陣的總和，仍須除以 4，才能得到魔術和。 看到兩條對角線就把全部總和除以 2：兩條主對角線並未涵蓋全部方格，不能用它們平分全表總和；魔術和應由全部總和除以列數求得。 把共同總和再除以 2：34 已是一條主對角線的和，不能因為有兩條對角線便再除成 17；17 只是 1＋16，即「首項＋末項」；68 則是兩條主對角線的和相加，並非一條的和。 忽略魔方陣公式的使用條件：n(n²＋1)÷2 適用於 1 到 n² 各使用一次的情況。若數字範圍改變，應先求實際全部總和，再除以 n。 被表中已知數字干擾：只問魔術和時，不必逐格補填，直接由數字範圍計算即可。 把百數表的中心數當成最大數：總和除以 9 得到的是平均數，也就是中心數；求最大數還要加 11。 最大數只加 1、只加 10，或誤加 9：右下角須向下加 10、向右加 1，共加 11；加 9 對應的是左下角。 把百數表九宮格誤當成魔方陣：它的各列總和並不相等。九數總和等於中心數的九倍，依據是對稱抵消，不能套用魔方陣的共同總和公式。 忽略連續方格的前提：上述百數表公式針對連續三列、連續三行形成的九宮格；若格距不同，必須依實際位置重新計算差值。 記憶口訣 魔方總和除列數；百表九數看中心。魔方陣先算全部總和，再除以 n；百數表九宮格先把總和除以 9，求出中心數。 左右差一，上下差十；右下加十一，左上減十一。先定位，再計算，就能由中心數迅速求出指定位置。