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學習重點 掌握有理係數二次方程式的性質：形如 r＋s√d 的無理根，必與 r－s√d 成對出現。 分清楚「有理係數」與「實係數」的條件，不要把無理根成對的規則套用到所有實係數方程式。 熟用根與係數關係：兩根和等於一次項係數變號後除以二次項係數，兩根積等於常數項除以二次項係數。 利用共軛根的和與積消去根號，再回推未知係數；特別注意負號與二次項係數。 能用直接代入法交叉檢查，並用正整數條件排除不合理的選項。 核心觀念 一、有理係數是無理根成對的關鍵 有理數是可以表示成兩個整數之比、且分母不為零的數；整數也屬於有理數。題目限定未知係數為正整數，再加上已知係數 3，就保證方程式的所有係數都是有理數，可以使用有理係數方程式的性質。 設二次方程式 Ax²＋Bx＋C＝0 的 A、B、C 都是有理數，且 A≠0。若其中一根為 r＋s√d，其中 r、s 為有理數、s≠0，d 為正有理數且 √d 為無理數，則另一根必為r－s√d。這兩個數互為共軛無理數。 例如，5＋2√3 的共軛無理數是 5－2√3。操作時有理數部分保持不變，只將根號項前的正負號互換；不是將整個數取相反數。 只有「實係數」還不夠。實數係數可以包含無理數，例如 x－√3＝0 只有一根 √3，並沒有 －√3 這個根。因此不能只因係數是實數，就斷定無理根的共軛也是根。本單元使用的是「係數皆為有理數」所提供的保證。 二、為什麼共軛無理根會成對？ 將 x＝r＋s√d 代入有理係數二次方程式，展開整理後可寫成 U＋V√d＝0，其中 U、V 都是有理數。 如果 V≠0，就會得到 √d＝－U／V，右側是有理數，與 √d 是無理數矛盾。因此必須U＝0 且 V＝0。把根改成 r－s√d 時，式子變成 U－V√d，仍然等於零，所以共軛數也是根。 這也是直接代入法的判斷原則：有理數部分與根號部分必須各自為零，兩部分不能互相抵消。 三、根與係數關係：先辨認係數，再代公式 若 Ax²＋Bx＋C＝0 的兩根為 u、v，則方程式可寫成 A(x－u)(x－v)＝0。展開得 Ax²－A(u＋v)x＋Auv＝0，比較係數可得： 兩根和：u＋v＝－B／A。 兩根積：uv＝C／A。 遇到 Ax²－ax＋b＝0 時，一次項係數是－a，所以兩根和為 －(－a)／A＝a／A；兩根積為 b／A。 方程式形式兩根和兩根積 Ax²＋Bx＋C＝0－B／AC／A Ax²－ax＋b＝0a／Ab／A 3x²－ax＋b＝0a／3b／3 公式中的分母 A 不能省略。只有二次項係數為 1 時，兩根和、兩根積才會直接等於一次項係數變號與常數項。 四、共軛根的和與積，會把根號消掉 若兩根為 r＋s√d、r－s√d，則： 兩根和＝(r＋s√d)＋(r－s√d)＝2r。 兩根積＝(r＋s√d)(r－s√d)＝r²－s²d。 相加時根號項互相抵消；相乘時使用平方差公式。若方程式為 Ax²－ax＋b＝0，便可直接得到a＝2Ar，b＝A(r²－s²d)。 本單元的已知根為 2＋√3，另一根為 2－√3： 兩根和＝4，兩根積＝2²－3＝1。 由 a／3＝4 得 a＝12；由 b／3＝1 得 b＝3。 兩者都是正整數，符合題意，所求 a＋b＝15。 題目以 α 或 a 表示一次項中的未知正整數，解法完全相同；符號名稱不影響根與係數的對應。 五、標準作答流程與代入驗算 確認係數為有理數；題目給正整數係數時即符合條件。 把已知根的根號項變號，寫出另一根。 算出兩根和與兩根積，對照「和＝－B／A、積＝C／A」求未知數。 依題意完成最後運算（例如求係數和），並檢查是否符合正整數限制。 也可以用直接代入法檢查。(2＋√3)²＝7＋4√3，代入 3x²－ax＋b＝0 得 3(7＋4√3)－a(2＋√3)＋b＝0，整理成(21－2a＋b)＋(12－a)√3＝0。根號部分為零得 a＝12，再由有理數部分 21－24＋b＝0 得 b＝3，與根與係數法一致。 根與係數法較短，適合選擇題快速作答；直接代入法則能用來檢查平方、正負號與係數是否算錯。 常考陷阱 漏除二次項係數：兩根和為 4、積為 1，就直接認定 a＝4、b＝1，得到係數和 5。二次項係數是 3，必須乘回 3，才是 a＝12、b＝3。 一次項負號看錯：在 3x²－ax＋b＝0 中，公式裡的 B 是 －a，根和為 a／3。若寫成 －a／3，會得 a＝－12，係數和變成 －9；若同時又漏乘 3，則得 a＝－4、b＝1，係數和為 －3。這些負值都違反「a、b 為正整數」，可立即排除。 把共軛誤認成相反數：2＋√3 的共軛是 2－√3，不是 －2－√3。若連有理數部分也變號，兩根和會變成 0，後續全錯。 誤以為實係數就保證無理根成對：無理根成對需要有理係數。實係數方程式的「虛根成共軛對」是另一項性質，不能混用。 平方差算錯：(r＋s√d)(r－s√d)＝r²－s²d，中間是減號；若根號前有係數 s，須先把 s 平方再乘 d，不能只減 d。 代入法把兩部分混在一起：U＋V√d＝0 且 U、V 為有理數時，必須分別令 U＝0、V＝0，不能只列 U＋V＝0。 算出單一係數就停：題目問的是係數和，求得 a、b 後仍須相加。正整數條件可排除負的選項，但仍要算出正確數值，才能區分 15 與 5。 記憶口訣 「有理係數根成雙，根號變號理不動；相加消根、相乘平方差；根和負比、根積正比。」 其中「負比」指 －B／A，「正比」指 C／A。套公式前，先把方程式對照成 Ax²＋Bx＋C＝0 的形式，並記得除以二次項係數，最能避免符號與倍數的錯誤。