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學習重點 先分清楚選舉人數、實際投票數與有效票數。計算得票門檻時，不能直接把具有投票權的人數當成票數，要先乘上投票率。 兩位候選人競爭時，「保證當選」要考慮未開出的票全部對自己最不利的情況。即使如此，自己仍須嚴格領先對手。 尚未開票且假設沒有廢票時，以實際投票數的一半為界，取得超過一半的票才能保證當選，也就是「一半加一票」。 開票中的保證條件要由剩餘票數推導。對手已得票數會在整理不等式時抵消，只需從總投票數扣除已知廢票，再除以二加一。 得票數只能是整數。「超過一半」的最低門檻是票數基準除以二，取整數部分後加一。 核心觀念 一、先確認票數的計算基準 選舉人數是具有投票權的人數，不代表每個人都會投票。已知投票率時，應先算出實際投票數： 實際投票數＝選舉人數×投票率 例如具有投票權的人數為200萬人，投票率為70%，則實際投票數為2000000×70%＝1400000票，也就是140萬票。後續計算都以這140萬票為基礎。不能拿200萬人直接取半，也不能把未投票者算成廢票。 名稱意義計算時的用途 選舉人數具有投票權的人數配合投票率求實際投票數 實際投票數實際投下的全部票數包括候選人得票與廢票 有效票數可計入候選人得票的票數等於實際投票數扣除廢票數 尚未開出的票數尚未判定歸屬的票數求保證當選時，假設全部由對手取得 二、保證當選：最不利時仍要嚴格領先 本單元只有兩位候選人。「保證當選」不是指目前領先，也不是預測最後可能獲勝。它的意思是即使剩餘選票全部投給對手，自己仍然比對手多票。 設實際投票數為T，尚未開票且沒有廢票。若A取得x票，B最多可取得T－x票，因此保證條件為： x＞T－x → 2x＞T → x＞T÷2 當T＝1400000時，一半為700000票。若A只取得700000票，B也可能取得700000票，雙方平票。因此保證當選的最少得票數是700001票，也就是70萬1票。 兩人競爭下，保證當選的門檻就是「過半數」，即總票數的一半加一票。這個門檻是從最不利情況推出來的，用來說明「怎樣才一定贏」。它不代表任何相對多數選舉都必須過半才能當選。 三、開票進行中：從剩餘票數列式 設實際投票數為T，目前A已得x票、B已得y票、已開出的廢票為z票。這三部分都已經開出，所以： 尚未開出的票數＝T－x－y－z 為了保證A當選，假設尚未開出的票全部是B的有效票。此時B最後最多能取得： y＋（T－x－y－z）＝T－x－z A必須嚴格超過B的最高可能票數，因此： x＞T－x－z → 2x＞T－z → x＞（T－z）÷2 關鍵在於y會抵消。B已取得的票本來就算在B最後可能取得的總票數裡。算剩餘票時先扣掉y，算B最終得票時又要把y加回來，不能只扣不加。 代入實際投票數，保證條件為x＞（2000000×70%－z）÷2。若以「x大於或等於某算式」表示，正確的算式是： x≧（2000000×70%－z）÷2＋1 這個式子只扣廢票z，不扣對手票y，並且要「加一」以排除平票。 已開出的廢票不可能再變成對手的得票，所以可以扣除z。未開出的票裡是否還有廢票並不確定，求保證時一律當作對手的有效票。這樣才涵蓋最不利的情況，即使之後真的再出現廢票，也只會讓對手更難追上。 四、「除以二加一」的整數細節 票數只能是整數。設N為計算門檻的票數基準，要嚴格超過N的一半，最低票數為N÷2取整數部分後，再加1。 N為偶數：最低票數就是N÷2＋1。例如N＝1400000時，門檻為700001票。 N為奇數：先捨去除以二後的小數，再加1。例如N＝1399999時，N÷2＝699999.5，門檻為700000票。 「N÷2＋1」在N為偶數時恰好是最低門檻；N為奇數時，它仍然足以保證當選，只是比最低門檻多了半票。選擇題問「x大於或等於哪個算式可以保證當選」時，選的是N÷2＋1的形式。 常考陷阱 把200萬直接除以二：這是忽略投票率，誤把選舉人數當成實際投票數。應先乘上70%，得到140萬票。 認為70萬票就能保證當選：70萬只是140萬的一半，對手仍可能同票。「保證」要求嚴格領先，所以要70萬1票。 選140萬票或140萬1票：140萬是全部選票，不是最少票數；140萬1票更超過實際投票總數，根本不可能出現。 從總票數同時扣掉z與y，即（T－z－y）÷2＋1：錯在把B已取得的票排除在競爭之外。應寫出B的最高可能得票為y加上剩餘票數，整理後y自然消去。 扣掉z與y且不加一，即（T－z－y）÷2：同時犯了「多扣y」和「沒加一」兩種錯誤。 只用（T－z）÷2而不加一：當T－z為偶數時，x恰好等於一半仍可能平票。「大於或等於」要搭配「＋1」才能保證當選。 目前領先就宣告保證當選：x＞y只表示當下領先，還要確認未開出的票不足以讓對手追平或超前。 預先假設未開票中有廢票：只有已開出的廢票z可以扣除。尚未開出的票求保證時一律算給對手。 記憶口訣 先乘投票率，再扣已知廢；剩票全給敵，仍勝才保證。 對手票先扣再加會抵消；一半不算贏，加一才保證。