梯形拼補與面積守恆

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握剪拼的面積守恆：原圖形全部保留，重新拼排時無縫隙、無重疊，總面積便不變。 能由長方形面積求等面積正方形的邊長，分清楚「面積相同」與「邊長、周長相同」的差異。 能以補成長方形再扣除三角形，以及兩個全等梯形拼成平行四邊形，說明梯形面積公式。 能將算式轉成圖示，標明切割線、補形區域、底與高。 能判斷哪種策略最能呈現「（上底＋下底）×高÷2」的結構，並選為引出公式的教學示例。 核心觀念 一、剪拼前後，為什麼面積不變？ 面積表示圖形所占平面的大小。把一張紙卡切成數塊，只改變各塊的位置與方向，沒有增加或丟掉任何一塊，且拼排時無縫隙、無重疊，拼成圖形的面積就等於原圖形面積。這是運用面積的可加性：整體面積等於各部分面積的總和。 教師問「你怎麼確定拼成的長方形與原平行四邊形一樣大？」時，回答要指出：長方形由原紙卡的所有部分重新拼成，每一塊面積都沒改變，也沒有遺漏或重疊，因此總面積相同。只說「看起來一樣大」或「因為公式算出來相同」，都沒有說明剪拼守恆的理由；後者更是倒果為因，因為平行四邊形面積公式正是要藉剪拼才導出的。 平行四邊形可沿適當的高切下一端的三角形，再平移至另一端拼成長方形。拼成後，長方形的長對應原平行四邊形的底，寬對應原平行四邊形的高，因此可由長方形面積得到平行四邊形面積＝底×高。圖示必須讓切下的部分與補入的位置清楚對應。 二、由長方形求等面積正方形的邊長 已知長方形的長與寬，重新剪拼成正方形，先求原面積，再利用正方形面積等於邊長的平方反求邊長，即邊長×邊長＝長×寬。 例如長為50公分、寬為32公分，原面積為50×32＝1600平方公分。因為40×40＝1600，所以等面積正方形的邊長是40公分。求得的是長度，答案單位為「公分」；中間計算的面積單位則是「平方公分」。 此類問題不必先找出實際切割方法，也不必計算周長。題目已給定可以無縫隙、不重疊地完整剪拼，便可直接用面積守恆建立關係。 三、梯形補成長方形，再扣除三角形 設梯形上底為a、下底為b、高為h，並先以b≥a且上底兩端均位於下底兩端上方範圍內的情形說明。可在梯形兩側補上直角三角形，形成長為b、寬為h的長方形。設兩個補入三角形的水平底長分別為x、y，則x＋y＝b－a，兩個三角形的高都是h。 因此，梯形面積＝bh－xh÷2－yh÷2＝bh－（b－a）h÷2＝（a＋b）h÷2。若是直角梯形，只需補一個三角形：梯形面積＝bh－（b－a）h÷2；不能因此把所有梯形都畫成只補一個三角形的情形。 圖示應標明原梯形、外補長方形、補入三角形及共同高度。補入部分可以用虛線或斜線標記，以表達長方形面積減掉補入面積，才是原梯形面積。若圖形的位置不符合上述補形條件，就須調整分割方式，不能直接套用該圖示。 這種作法雖能求出正確面積，但算式呈現的是「大長方形減三角形」的結構，看不出「上底加下底」，必須再經代數整理才能得到公式，學童不易從中直接看出梯形面積公式。 四、兩個全等梯形拼成平行四邊形 取兩個全等梯形，將其中一個旋轉180度，再沿一腰與另一個相接，可拼成平行四邊形。新平行四邊形的底是上底與下底的和a＋b，高仍是h。 平行四邊形面積為（a＋b）×h，其中包含兩個面積相等的梯形，所以一個梯形面積為（a＋b）×h÷2。這裡除以二，是因為拼成圖形由兩個全等梯形組成；不是因為梯形有兩條底，也不是因為高度減半。 畫圖時，應清楚區分兩個梯形（例如一個畫實線、一個畫虛線或塗色），標出新底邊由a與b兩段組成，高則是兩條平行底邊間的垂直距離。只畫出一個平行四邊形卻未交代它含有兩份原圖形，會漏掉公式中「除以二」的依據。 五、如何判斷適合導出公式的教學示例？ 教學判斷不能只看答案是否正確或計算步驟是否最少，而要看圖形與算式能否清楚呈現「上底加下底」、「乘以高」、「除以二」的來源，並能推廣到一般梯形。 策略算式結構教學判斷重點 補成長方形再扣除三角形下底×高－補入三角形面積算式中看不到兩底和，須再化簡才得公式，不適合直接引出公式。 兩個全等梯形拼成平行四邊形（上底＋下底）×高÷2兩底和、共同高度及取半的理由都能從圖形直接看出，最適合引出公式。 沿對角線分成兩個三角形上底×高÷2＋下底×高÷2兩三角形分別以上、下底為底且高同為h，合併後也可得公式，可作為補充策略。 因此比較「補成長方形再扣除」與「拼成平行四邊形再取半」兩種學童作法時，應選拼成平行四邊形再除以二的作法作為引出梯形面積公式的教學示例，理由是其算式本身就是「（上底＋下底）×高÷2」的結構，能直接一般化為公式。 沿對角線分割時，兩個三角形的高相同，是因為它們的底位於同一組平行線上；不能只說「兩個三角形都在梯形裡，所以高相同」。 常考陷阱 把面積守恆當成周長守恆：剪拼會改變外圍邊界。不能將長方形周長除以四來求等面積正方形的邊長（50與32的周長除以四得41，是錯誤答案），也不能將長、寬取算術平均。 單位寫錯：正方形邊長答「40公分」，不是「1600平方公分」或「40平方公分」。 只寫「剪過所以一樣大」或「用公式算出來一樣」：須說明所有部分均保留，且無縫隙、無重疊；若丟掉、增加或重疊紙片，就不能直接宣稱面積相等。 把斜腰當作高：梯形與平行四邊形的高都是平行底邊間的垂直距離，圖形旋轉後也不改變這項定義。 補形後忘記扣除：外補長方形包含原梯形與補入部分；若只算長方形，所得面積會過大。 拼成平行四邊形後忘記取半：兩個全等梯形的總面積才是新平行四邊形面積；求一個梯形須再除以二。 把底和寫成底差，或漏加括號：正確公式是（上底＋下底）×高÷2。底差只出現在補入三角形的計算中，不能取代公式中的底和。 只憑答案正確選教學示例：兩種作法答案都對，但要選算式結構直接對應公式的拼成平行四邊形作法。申論作答須交代圖形各部分與算式各項的對應關係。 圖示畫不清：畫學童解題想法時，要標出切割線或補入區、兩個梯形的區分、底與高的長度，讓圖與算式逐項對應。 記憶口訣 剪拼不增減，無縫不重疊；求方邊先算積，再找平方根。補形要扣掉，倍拼要折半；梯形兩底和，乘高再折半。