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學習重點 理解平均數、中位數與眾數的意義，能依資料特性選擇適當的集中量數。 辨識極端值對平均數的拉動效果；資料有極端值時，描述集中趨勢最適合用中位數。 區分「跑步時間」與「表現好壞」：同樣距離下，完成時間越短，表現越好。 能針對生病等特殊情況造成的異常紀錄，提出有數據依據、符合選拔目的的說明。 核心觀念 一、集中量數：用一個數字描述資料的中心 集中量數用來呈現一組資料的中心位置或典型情形。常見的平均數、中位數與眾數，各自回答不同問題，沒有一種量數適用於所有情境。選擇時應先看資料有沒有極端值，以及想描述的是整體平均、中央位置，還是最常出現的結果。 量數意義與求法面對極端值的特性 算術平均數所有數值加總，再除以資料個數。每個數值都參與計算，容易被極端大值或極端小值拉動。 加權平均數各數值乘以對應權重後加總，再除以權重總和。本質仍是平均數，仍會受極端值影響，影響程度也與該筆資料的權重有關。 中位數資料由小到大排列後，位於中央位置的數值；偶數筆時取中央兩個數值的平均。主要由排序後的中央位置決定，較不受兩端極端數值影響，是有極端值時描述集中趨勢的首選。 眾數資料中出現次數最多的數值。著重出現頻率；可能不存在或不只一個，未必能代表整組數值資料的中心。 二、極端值為何會拉動平均數？ 極端值是相對於其他觀測結果，特別大或特別小的數值。平均數的分子包含所有資料的總和，因此只要其中一筆大幅增加或減少，平均數就會跟著改變。極端大值會拉高平均數，極端小值會拉低平均數。 例如，一組資料為10、11、12、13、54，平均數為20，中位數為12。多數資料集中在10至13之間，但54使平均數提高到20。此時若要描述多數資料的典型位置，中位數比平均數合適。 平均數並沒有算錯，而是它反映了所有數值共同作用的結果。當問題要求描述「一般情形」或「平常水準」，極端值可能使平均數偏離多數資料所在的位置。因此，看到資料存在明顯極端值，又要選擇描述集中趨勢的量數時，應選中位數。 三、中位數的計算與抗極端值特性 求中位數一定要先排序，再找中央位置，不能直接按照紀錄出現的先後順序取中間值。 資料個數為奇數：取排序後正中央的一筆。例如五筆資料取第三個數值。 資料個數為偶數：取排序後中央兩筆的平均。例如四筆資料取第二個與第三個數值相加後除以2。 若四筆成績排序為a、b、c、d，中位數就是（b＋c）÷2。當d已經是最大值，而且繼續變大時，只要中央兩筆仍是b與c，中位數就不變；平均數則會繼續增加。這正是中位數能減少單次極端紀錄影響的原因。 不過，「較不受極端值影響」不等於「任何資料改變都不會影響」。如果資料變動改變了中央位置的數值，中位數仍可能改變。作答時應避免使用「完全不受任何數值影響」這類過度絕對的說法。 四、跑步成績先確認：比較的是時間還是分數？ 賽跑紀錄若使用完成時間，數值方向與一般測驗分數不同。同樣跑800公尺，所需時間越短，表現越好；所需時間越長，表現越差。不能把「數字比較大」直接解讀為「成績比較好」。 若學生因病有一次跑得特別慢，這筆紀錄在時間資料中是偏大的數值，會把平均時間拉高，讓平均值呈現的表現變差。使用中位時間，則較能減少這次特殊紀錄對典型表現的影響。 比較不同學生時，也要採用相同標準。例如，以每位學生各次完成時間的中位數比較，才是在同一個基準上評估。若某生的中位時間較短，就能據此說明其典型表現較佳；不能拿自己的最佳時間，直接與別人的平均時間比較。 五、數據說服題：理由要連結特殊原因與代表性 申論題要求利用紀錄提出自薦理由，重點在於說清楚採用哪項數據，以及它為何能反映平常能力。只說「我跑得快」或「那次生病不算」，都缺少完整的統計理由。 可依「特殊原因→量數受到的影響→適合的比較依據」組織答案：因病造成單次完成時間異常偏長，是極端值，使平均時間被拉高；中位數較不受這次極端紀錄影響，因此可用中位時間說明平常的代表性表現。若紀錄顯示自己的中位時間比其他人短，再補上這項比較，說服力會更充分。 題目只要求寫出一項理由，常見可行的說法有： 以中位數比較：四次成績的中位時間最短，代表平常表現最佳。 以正常狀態的紀錄比較：未生病的各次紀錄（如前三次）與其他人同次或同樣方式比較時，成績較佳。 以趨勢或穩定度說明：若未生病前的紀錄呈現進步或表現穩定，可說明真實能力未因單次異常而改變。 若要排除某筆資料，必須交代特殊原因，且比較時對所有人採用一致的方式，不能只因紀錄不利就任意刪除。採用中位數則保留全部紀錄，只是改用較適合的摘要方式。 實際作答若列出中位數、平均數或其他比較結果，必須依紀錄計算。中位數較能抵抗極端值，並不保證某位學生的中位數一定優於其他人；是否具有選拔優勢，仍須看實際數據。 常考陷阱 「平均數使用全部資料，所以一定最有代表性」：使用全部資料不代表最適合描述典型表現。極端值可能使平均數偏離多數資料。 「有極端值就改用加權平均數」：加權處理的是各筆資料的重要程度，仍屬平均數，不會自動消除極端值影響。 「眾數不容易被極端值拉動，所以一定選眾數」：眾數呈現最常出現的值，資料可能沒有重複值或有多個眾數，難以提供穩定的代表性資訊。描述受極端值干擾的資料中心，應選中位數。 「中位數就是中間那次測量」：應先依數值排序，與測量時間的先後無關；偶數筆資料還要取中央兩筆的平均。 「生病使成績變差，所以數值變小」：要先看單位。若記錄的是跑步時間，變差表示時間變長，數值變大。 「中位數比較可靠，所以一定應選某生」：量數是否適合與誰的表現較佳，是兩個判斷。前者看資料特性，後者要實際計算比較。 「把最差紀錄刪掉即可」：不能為了取得有利結果任意刪除資料。應說明特殊原因，並採用合理且一致的比較標準。 記憶口訣 「極端拉平均，排序找中間；跑步看時間，越短越領先。」 申論作答記住：「交代原因、指出影響、提出數據」，讓代表值的選擇與自薦理由連成完整論證。