阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 看懂折線圖的橫軸分組、縱軸單位與組距，分清楚「次數」與「相對次數」。 利用各組次數總和等於總人數、各組相對次數總和等於 100%，補回缺漏資料。 將相對次數換算成人數，正確判斷「不到」、「以上」等條件所包含的組別。 遇到圖形汙損，結合總人數與組間人數差列式，並先化簡題目要求的代數式。 核心觀念 一、讀圖先看座標軸，分清楚人數與百分比 次數分配折線圖與相對次數分配折線圖的外觀相似，但縱軸意義不同。次數是某組實際出現的筆數或人數；相對次數是該組次數占總次數的比例。縱軸若以「人」為單位，讀到的就是人數；若標示「%」，讀到的就是百分比，必須知道總人數才能換算成人數。 比較項目次數分配折線圖相對次數分配折線圖 縱軸意義各組次數，如人數各組占全體的比例 各組資料合計總次數 N1，也就是 100% 換算方式該組次數＝N × 該組相對次數該組相對次數＝該組次數 ÷ N 若以百分比表示相對次數，計算式為「該組次數 ÷ 總次數 × 100%」。例如，全班 40 人，某組占 10%，該組就是 40 × 0.10＝4 人；某些組合計占 25%，則共有 40 × 0.25＝10 人。 換算時可先求「1 人占多少百分比」：全班 40 人時，1 人＝100% ÷ 40＝2.5%，因此各組相對次數必定是 2.5% 的整數倍。用這個方法既能快速換算，也能檢查讀圖是否合理。 二、橫軸常用組中點標示，組距與組數要分開看 分組資料的折線圖通常以組中點作為各組的橫座標，再連接代表各組次數或相對次數的點。組中點＝（下限＋上限）÷ 2，例如 45～50 公斤這一組的組中點是 47.5 公斤。圖上的點代表整組資料，不能解讀成所有人都恰好是組中點的數值。 組距是每組涵蓋的數值寬度，例如每 10 球分一組，組距就是 10 球；組數則是實際分成幾個資料組。判斷是否分成六組，應確認六個實際組別，不能把橫軸刻度數直接當作組數。部分折線圖會在左右各加一個次數為零的輔助點，以便讓折線接回橫軸，這些點不應直接算成實際資料組。 三、折線缺漏時，先用總和補資料 若相對次數折線圖只有一組資料缺漏，其餘各組都能讀出，就用缺漏組相對次數＝100%－其餘各組相對次數總和。例如其餘各組合計為 80%，缺漏的一組就是 20%。這是運用全體比例必須合計為 100%，不是依線段外觀猜測。 若缺漏的是次數，則使用缺漏組次數＝總人數－其餘各組次數總和。若題目問的是該組的相對次數，再把求得的次數除以總人數、化成百分比即可。有兩組以上缺漏時，只有總和通常不足以分別求出各組人數，還要搭配題目給的差、倍數或其他條件。 補完後要檢查：次數應為非負整數，相對次數應介於 0% 與 100% 之間，而且所有實際組別加總後必須符合全體資料。 四、範圍條件要先找組別，再加總 「不到 30 球」表示小於 30 球；「60 球以上」表示大於或等於 60 球；「不足 70 公斤（不含 70 公斤）」表示小於 70 公斤。作答前應先把文字改寫成大小關係，確認分組端點，再決定要加哪些組。 文字條件數學意義判斷重點 不到 30 球球數＜30不包含恰好 30 球，要加總 30 球以下的所有組別 50 球以上球數≥50包含 50 球，也包含所有更高組別 不足 70 公斤體重＜70排除恰好 70 公斤及更重者 依常見的「含下限、不含上限」分組方式，55～60 公斤表示 55 公斤以上、未滿 60 公斤；60～65 公斤則從 60 公斤算起。若題目另有端點規定，應以題目為準。 一般相對次數折線圖的點表示單組比例，不是累積比例。要求「50 球以上」的人數，應加總符合條件的所有組別，再乘總人數；不能只讀取 50～60 球那一組。 五、比較倍數時，同一全體可直接比較比例 比較同一班的兩個人數，只要兩者使用相同總人數，便可直接用相對次數相除。例如甲範圍占 p%、乙範圍占 q%，且 q 不為零，則甲範圍人數是乙範圍的 p ÷ q 倍。 但必須先加總完整範圍。判斷「50 球以上人數是 60 球以上人數的 2.5 倍」，應計算50 球以上各組比例總和 ÷ 60 球以上各組比例總和，再檢查是否等於 2.5。不能拿單一組別的比例代替整個範圍，也不能把比例相減當成倍數。較保險的做法是先把兩個範圍都換成人數，再相除比較。 六、總人數與相差條件可以聯立，代數式可以先消去 若全班 27 人，兩個被遮住的組別以外共有 K 人，則兩個未知組合計為 S＝27－K。設 55～60 公斤有 x 人，已知 60～65 公斤比它多 1 人，後一組便是 x＋1 人，因此： x＋（x＋1）＝S，故 x＝（S－1）÷ 2；較多的一組＝（S＋1）÷ 2。 由於兩組人數是相差 1 的整數，合計 S 必須是奇數。若算出小數，應回頭檢查讀圖或加總是否有誤。 若 a 代表 55～65 公斤的合計人數，b 代表其中 60～65 公斤的人數，則a－b 就是 55～60 公斤的人數。所以 a－b＋c 可以先化成「55～60 公斤人數＋不足 70 公斤人數」，減少不必要的計算。求 c 時，可直接加總所有未滿 70 公斤的組別；也可用 27 減去 70 公斤以上的人數，但必須確認已涵蓋全部組別。 常考陷阱 把百分比直接當人數：10% 不等於 10 人。先看縱軸，再用總人數換算；全班 40 人時，10% 是 4 人。 用折線高低猜缺漏值：缺漏點不一定是相鄰兩點的平均。優先使用總和 100% 或總人數等確定條件。 把單組比例看成累積比例：「不到」與「以上」往往包含多組，必須先找齊組別再加總。 漏掉範圍端點：「以上」包含該數值，「不到」、「不足」不包含該數值；不能把 70 公斤算入不足 70 公斤。 把輔助點算成組別：折線兩端接回橫軸、次數為零的點不是實際資料組，計算組數時要排除。 倍數的分子、分母放反：「甲是乙的幾倍」就是甲 ÷ 乙；「是 2.5 倍」表示甲＝2.5 × 乙。選項中常把實際倍數（例如 2 倍或 3 倍）改寫成 2.5 倍，務必實際算出來比對。 把「多 1 人」寫成倍數：較少組設 x 人，較多組應為 x＋1 人，不是 2x 人。 看到包含關係就任意扣除：a－b 可以消去重複組別；但即使 c 也包含其中一些人，仍要依指定算式相加，不能自行改成不重複人數。 記憶口訣 先看軸，再找組；百分乘總數，缺漏用總和補。以上含端點，不足不包含；倍數用除法，代式先消去。