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學習重點 把正六邊形分割成六個等邊三角形，再作高得到30°－60°－90°直角三角形，用邊長比1：√3：2求各種距離。 蜂巢交錯排列求總寬時，分清「第一個櫃子的完整寬度」與「每多一個櫃子增加的水平距離」，總寬＝完整寬＋（n－1）×水平增量。 判讀線段的端點與方向，拆成水平、垂直投影後相加減，必要時用畢氏定理。 能以正切建立測高關係：tanθ＝高度差／水平距離，並分辨建築物總高、牆上影子高與兩者的高度差。 申論作答須寫出幾何依據、算式、單位與比較結論，不能只寫答案。 核心觀念 一、正六邊形的基本性質 正六邊形六邊等長、六個內角均為120°。連接中心與六個頂點，可分成六個全等的等邊三角形，因此中心到頂點的距離等於邊長。中心到邊的垂直距離則是等邊三角形的高，兩者不能混用。 設邊長為s。在等邊三角形中作高，得到兩個30°－60°－90°直角三角形，邊長關係為： 30°對邊：60°對邊：斜邊＝1：√3：2。 斜邊是s，所以短股為s／2，長股為√3s／2。當s＝15公分時，兩股分別為7.5公分與15√3／2公分（約12.99公分）。 幾何量一般公式邊長15公分時 中心到頂點s15公分 中心到邊的垂直距離√3s／215√3／2公分 相對頂點的距離（長對角線）2s30公分 隔一個頂點的距離（短對角線）√3s15√3公分 一對平行對邊的垂直距離√3s15√3公分 「寬度」必須配合擺放方向判斷。上下為水平邊時，左右最遠兩頂點的距離是2s；上下為頂點時，左右兩條鉛直邊的距離是√3s。同一個正六邊形轉動後，橫向寬度不同。 二、蜂巢交錯排列：先求每次增加多少寬 計算排列總寬，要找出整組最左端與最右端，求兩者的水平距離。交錯排列時，相鄰櫃子的水平範圍會部分重疊，所以不能用「個數×單個寬度」。 常見設計是上下為水平邊、相鄰櫃子共用一條斜邊、一高一低交錯向右排。相鄰兩櫃中心的水平距離＝s＋s／2＝3s／2，垂直距離＝√3s／2。因此n個櫃子的總寬為： 總寬W＝2s＋（n－1）×3s／2。 理由：首尾兩中心之間有n－1段水平位移，首尾櫃子再各向外伸出一個s（中心到左右頂點）。 櫃子數（s＝15公分）算式橫向總寬 1個2×1530公分 5個30＋4×22.5120公分 6個30＋5×22.5142.5公分 依此排列方式布置6個櫃子需要142.5公分，比牆寬140公分多2.5公分，所以放不下。作答時應寫出：水平增量的來源（s＋s／2）、總寬算式、與140公分的比較、結論。 整組交錯排列的總高度也可同理求得：一個櫃子高√3s，高低錯開√3s／2，所以總高＝√3s＋√3s／2＝3√3s／2。s＝15公分時為45√3／2公分，約38.97公分。 若擺放方向不同（上下為頂點、左右為鉛直邊），同一列相鄰櫃子中心的水平距離為√3s，上下列錯開的水平距離為√3s／2，要依圖重新判斷，不可套用上式。 擺放方向單個寬度相鄰交錯的水平增量 上下為水平邊（左右為頂點）2s3s／2 上下為頂點（左右為鉛直邊）√3s√3s（同列相鄰）；√3s／2（上下列錯開） 三、特定線段長度：先辨端點與方向，再拆解 排列圖中的線段可能是邊、對角線、整組水平跨度或垂直高度，也可能是連接不同櫃子頂點的斜線。端點不同，算法就不同。先標出線段兩端所在的頂點，再判斷它是水平、鉛直或傾斜。 同一正六邊形內：相鄰頂點距離為s，短對角線為√3s，長對角線為2s；邊長15公分時依序為15、15√3、30公分。 水平線段：拆成若干段已知長度，如完整邊長s、斜邊的水平投影s／2、中心位移3s／2，依端點位置相加或相減。例如5個櫃子交錯排列，最左頂點到最右頂點為120公分。 鉛直線段：以√3s／2為單位計算。例如一個櫃子的高為15√3公分，交錯兩層的總高為45√3／2公分。 跨櫃子的斜線：先求兩端的水平距離x與垂直距離y，再用畢氏定理，長度為√（x²＋y²）。 斜邊與水平線夾60°時，水平投影為s／2、垂直投影為√3s／2；夾30°時則相反。角度是相對哪一條基準線量的，決定了哪一股是水平投影。 四、三角比測高：正切求出的是高度差 直角三角形中，tanθ＝對邊／鄰邊。θ是光線與水平面的夾角時，對邊是垂直高度差，鄰邊是水平距離。須熟記：tan30°＝√3／3，tan45°＝1，tan60°＝√3。 設樓高H，牆上影子頂端離地h，樓與牆的水平距離d。通過樓頂的光線斜射到牆上影子頂端，從影子頂端畫水平線到樓房，形成直角三角形： tanθ＝（H－h）／d，所以H＝h＋d·tanθ。 水平距離6公尺、牆上影子2公尺、光線與水平線夾60°時：H－2＝6×tan60°＝6√3，所以樓高為（2＋6√3）公尺，約12.39公尺。 6√3公尺只是樓頂與影子頂端的高度差，要再加上影子頂端離地的2公尺才是樓高。 常考陷阱 把120°當直角三角形的角：120°是正六邊形內角，要分割或作高，才會出現30°、60°、90°。 把邊長15公分當成六邊形的寬：上下為水平邊時橫向寬是30公分，對邊距離才是15√3公分，須看擺放方向。 交錯排列算成6×30＝180公分：忽略相鄰櫃子水平重疊，應以30＋5×22.5＝142.5公分計算。 水平增量誤寫成s或2s：共用斜邊時，相鄰中心水平相距s＋s／2＝22.5公分，不是15或30公分。 增量次數算成n次：第一個櫃子已計入完整寬度，只需加n－1次增量。 以外框折線長代替寬度：能否放得下取決於最左與最右端的水平距離，不能沿外緣逐段累加。 只比較結果、沒寫理由：要寫出「142.5＞140，超出2.5公分，故放不下」的比較過程。 15√3與15√3／2混淆：15√3／2是等邊三角形的高，15√3是兩倍高（對邊距離或短對角線）。 測高只寫6√3：那只是高度差，漏加牆上影子的2公尺。 把tan60°寫成√3／3或用錯對邊鄰邊：60°對應的對邊是高度差，鄰邊是6公尺水平距離；若角度是對鉛直線量的，對水平線便是30°，算式不同。 只寫近似值：先寫精確值2＋6√3公尺，再附約12.39公尺。 記憶口訣 「六邊分六等邊，作高得一、根三、二。」先分割，再依1：√3：2辨認短股、長股與斜邊。 「首個算全寬，後面加一個半邊。」水平邊朝上下的交錯排列：首個寬2s，之後每個加1.5s。 「正切求落差，影高再加回。」d·tanθ只是高度差，加上牆上影子才是樓高。