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學習重點 熟用正 n 邊形的內角公式（n−2）×180°÷n，算出正五邊形內角為 108°、正六邊形內角為 120°。 掌握足球頂點的面片組合：一個正五邊形與兩個正六邊形相接，面角總和為 348°，攤平後的缺口為 360°−348°＝12°。 辨認正多邊形的對稱軸：正 n 邊形恰有 n 條對稱軸，偶數邊與奇數邊的軸線位置不同。 利用「每個頂點可連 n−3 條對角線，全部相加再除以 2」求對角線總數，正六邊形共 9 條。 計算對稱軸與對角線的數量關係：正六邊形對稱軸 6 條、對角線 9 條，兩者相差 3。 核心觀念 一、正多邊形的內角：先求總和，再平均 正多邊形的各邊等長、各內角相等。從 n 邊形的一個頂點向其他不相鄰頂點畫對角線，可以把多邊形分成 n−2 個三角形，所以內角總和為（n−2）×180°。正 n 邊形再將總和平均分成 n 份，得到： 正 n 邊形每個內角＝（n−2）×180°÷n＝180°−360°÷n。 一般多邊形也適用內角總和公式，但只有在各內角相等時，才能直接除以 n 求得每個內角。題目中的「正」字，就是允許平均分配的重要條件。 圖形內角總和每個內角每個外角 正五邊形540°108°72° 正六邊形720°120°60° 表中的外角，是一邊延長線與相鄰邊形成、與內角互補的角。正 n 邊形的每個外角為 360°÷n，不能把外角直接當成面片在頂點所占的角度。 二、足球展開角：看同一頂點有哪些面片 足球（截角二十面體）由 12 塊正五邊形與 20 塊正六邊形構成，每個頂點由一個正五邊形及兩個正六邊形共用。計算該頂點攤平後的缺口，只需處理這三個面在同一頂點的內角，不必把整顆足球的所有面片角度加總。 三個面角的總和為：108°＋120°＋120°＝348°。若將這些面片沿共同邊依序攤在平面上，使它們仍共用同一頂點，完整一周應為 360°，因此尚未被面片占用的角度為： 缺口角＝360°−348°＝12°。 這個差稱為該頂點的角虧。面片沿邊折成立體時，各面內角保持不變；攤平時，原本立體頂點周圍的角度不足一周，便會顯出缺口。正因為有這 12° 的缺口，面片才能「拱起來」圍成球狀；若三個面角恰好湊成 360°，就只能平鋪在平面上。 作答時先確認標示的角是「三個面片之外的缺口」，還是某一面片內部的角。展開圖中夾在兩塊面片之間、頂點為共同頂點的空隙，就是 12°；若標示的是面片內部的角，則應回到 108° 或 120° 判斷。 三、正多邊形的對稱軸：總數等於邊數 對稱軸是一條直線，圖形沿它對折後，兩側能完全重合。正 n 邊形有 n 條對稱軸，但軸線經過的位置會隨邊數的奇偶而不同。 邊數對稱軸的位置條數 奇數 n通過一個頂點與其對邊中點n 條 偶數 n通過一對相對頂點n÷2 條 偶數 n通過一對相對邊的中點n÷2 條 例如正六邊形有 3 條通過相對頂點的對稱軸，以及 3 條通過相對邊中點的對稱軸，合計 6 條。只數通過頂點的軸線，會漏掉一半。 四、對角線計數：排除三個頂點，重複計數再除二 對角線是連接兩個不相鄰頂點的線段。從 n 邊形的一個頂點出發，不能連向自己；連向左右兩個相鄰頂點所得到的是邊，也不能算作對角線。因此，從一個頂點可畫出的對角線共有 n−3 條。 將 n 個頂點各自能畫的對角線相加，得到 n（n−3）。但每條對角線都有兩個端點，會從兩端各被算一次，所以： n 邊形的對角線總數＝n（n−3）÷2。 圖形對稱軸單一頂點出發的對角線對角線總數 正五邊形525 正六邊形639 「單一頂點出發的條數」與「整個圖形的總條數」是不同的計數範圍，正六邊形分別為 3 條與 9 條。 五、對稱軸與對角線的數量關係 以 a 表示正六邊形對稱軸條數、b 表示對角線總數，則 a＝6、b＝9，兩者相差 3。嚴格依序相減，a−b＝6−9＝−3；而此類考題的選項只列正數，標準答案取 3，即兩數的差距（b−a＝3）。作答時先把 a、b 各自算正確，再找出數值為 3 的選項。若算成 0、5、6 等，通常是對稱軸或對角線其中一項數錯。 常考陷阱 把內角與外角混用：正五邊形的 72°、正六邊形的 60°是外角。面片在共同頂點所占的角，應使用 108°與 120°。若誤用外角，會得到 72°＋60°＋60°＝192°，與任何正確結果都不符。 把 348°直接當成缺口：348°是三個面角的總和；缺口還要用完整一周 360°減去它，答案是 12°，不是 8°、24°或 32°。 用 180°作為展開角的基準：同一頂點周圍一整圈是 360°；只有確定角位於同一直線的一側時，才考慮平角 180°。 面片組合記錯：每個頂點是「一個五邊形＋兩個六邊形」，不是兩個五邊形加一個六邊形（那樣會算成 108°×2＋120°＝336°，缺口 24°）。 將全體面片數帶入局部角度計算：12 塊黑、20 塊白是整顆足球的面片數，與單一頂點的角度計算無關。 對稱軸只數一半：正六邊形只數通過相對頂點的 3 條，會漏掉通過相對邊中點的 3 條，正確為 6 條。 把對角線視為對稱軸：對角線是線段，對稱軸是能使圖形對折重合的直線；兩者的定義與數量都不同。 漏除以 2 或只算單一頂點：正六邊形若算成 6×3＝18 條或只算 3 條都錯，正確為 9 條。 記憶口訣 內角先減二，乘上一百八，再除邊數；對稱軸數等邊數。 對角線：每點減三，全乘除二；展開缺口：一周減面角。 足球一五兩六，一零八加兩個一二零，差十二度才成球。