阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 掌握正四面體由四個全等正三角形組成，並記住正四面體只有兩種展開圖：「大三角形型」與「平行四邊形帶狀型」。 利用正方體展開圖的摺疊方向，找出三組相對面，分清平面上的位置與摺成立體後的位置。 由展開圖確認各組相對面後，再利用「1～6 總和 21」推出每組相對面數字和為 7。 計算正方體直柱堆疊的隱藏面時，用「所有上下底面的總和，扣掉最上方露出的面」來簡化。 核心觀念 一、正四面體的展開圖：只有兩種 正四面體有四個面、六條邊、四個頂點，每個面都是全等的正三角形，每個頂點恰有三個面相交。判斷展開圖時，面數與形狀只是基本條件。還要確認四個三角形能沿共同邊摺起，形成沒有缺口、沒有重疊的立體。 正四面體的展開圖只有下列兩種（旋轉、翻面視為同一種）： 類型排列方式外形摺法 大三角形型以一個正三角形為中央，三條邊外側各接一個正三角形邊長為兩倍的大正三角形中央當底面，三片向同側摺起，三個外側頂點會合成頂點 帶狀型四個正三角形一上一下交錯相接，排成一列平行四邊形依序沿共同邊摺起，首尾兩片封住缺口 判讀順序如下： 查面：是否恰為四個全等正三角形。 查連接：各面是否沿完整的邊連接。只有頂點接觸的地方，不能當作摺線。 查頂點：是否有四個三角形共用同一個頂點。 查封閉：沿共同邊試摺，確認沒有兩面重疊，也沒有缺口。 要特別注意，四個三角形繞同一頂點排成的扇形，不能摺成正四面體。這個頂點周圍的角度共 4×60°＝240°。摺疊不會把它拆開，於是四個面會擠在同一個頂點上，但正四面體的每個頂點只能有三個面（3×60°＝180°）。扇形和帶狀型同樣是「四片依序沿邊相連」，差別在於帶狀型是上下交錯排成平行四邊形，扇形則是四片都繞著同一點轉，兩者要分清楚。 二、正方體的相對面：摺合後平行，且沒有共同邊 正方體有六個面，共有三組相對面。相對的兩面互相平行，沒有共同邊，也沒有共同頂點。相鄰的兩面共用一條邊，且互相垂直。 關係立體中的特徵判斷提醒 相鄰面共用一條邊，互相垂直展開圖中沿邊直接相連的兩面，摺起後一定相鄰 相對面互相平行，沒有共同邊或頂點要追蹤摺合方向，不能只看紙上距離 正方體的展開圖共有 11 種。判斷相對面的方法如下： 直線隔一格：在有效展開圖中，三格沿同一直線連續排列時，兩端的兩格互為相對面，中間那格與兩端都相鄰。這個規則只適用於直線，遇到轉彎的三格不能套用。 Z 字兩端：若某格與另一格之間呈「Z」字（或「S」字）形相連，Z 字兩端的格子互為相對面。 固定底面試摺：以上方法都不好判斷時，選一格當底面保持不動。再把相連的格子沿邊摺起，依序標成前、後、左、右，最後找出封在上方的面。 找出一組相對面後，要把其餘兩組也找完，並檢查六個面各出現一次。每個面只有一個對面。 三、相對面數字和：先確認配對，再用總和 六個面分別標上 1 到 6，總和為 21。從展開圖找出三組相對面後，若三組的數字和都相同，設共同的和為 S，則三組恰好用完六個數字： 3S＝21，所以 S＝7。 此時三組配對必定是 1 與 6、2 與 5、3 與 4，和一般骰子相同。不過，只標 1 到 6，並不保證相對面和為 7，任意填寫可能得到別的配對。一定要先由展開圖確認實際的相對面，再下結論。作答時最好寫出三組配對，例如「1 對 6、2 對 5、3 對 4，每組和皆為 7」。 四、直柱堆疊：用上下底面總和計算隱藏面 n 個正方體上下對齊，堆成單列直柱。每個正方體的上面與下面是一組相對面。若每組相對面的數字和都是 S，不論正方體怎麼翻轉，每個正方體上下兩面的數字和都固定為 S。 全部正方體的上下底面數字總和為 nS。其中只有最上方的面露在外面，其餘都是相疊看不見的面或接觸桌面的面。若最上方的數字為 t，則： 相疊看不見的面＋接觸桌面的面的數字總和＝nS－t。 舉例來說，十個相對面和為 7 的正方體堆成直柱，上底面數字為 2，所求為 10×7－2＝70－2＝68。 也可以用面數驗算計算範圍。n 個正方體之間有 n－1 個接觸處，每處有兩個看不見的面。再加上最下方接觸桌面的一面，共 2(n－1)＋1＝2n－1 個面。這正好等於上下底面共 2n 個，扣掉最上方露出的 1 個。 常考陷阱 「只要有四個正三角形，就能摺成正四面體」：面數正確還不夠，必須檢查沿邊連接、頂點結構與封閉情形。 「四片依序相連，就是帶狀型」：四片若都繞同一個頂點排成扇形，該點有四個面，摺不成正四面體。只有上下交錯、外形為平行四邊形的帶狀才可以。 「只有中央一片、外圍三片才是展開圖」：平行四邊形帶狀型也是正四面體的展開圖，兩種都要認得。 「平面上沒接在一起，就是相對面」：展開時被剪開的兩面，摺回去後可能相鄰。紙上分開不代表立體中相對。 「任意三格的兩端都相對」：這個規則只適用於直線連續三格，遇到轉彎要追蹤摺疊方向或用 Z 字規則。 「1～6 的正方體，相對面和一定是 7」：總和 21 只能推出三組的和加起來是 21，要先由展開圖確認配對。 「兩個正方體接觸，只算一個隱藏面」：每個接觸處都有上方正方體的下面和下方正方體的上面，兩個面都要算進去。 「扣掉最上面後，還要再扣桌面那一面」：題目要求包含與桌面接觸的面，所以最下面要保留，只扣最上方露出的面。結果是 68，不是 70，也不是 70－2－(底面數字)。 「任意翻轉，答案就無法確定」：只要相對面和固定，翻轉後每個正方體的上下兩面和仍固定，可以直接用總量計算。 記憶口訣 四面體：大三角、平行四，只此兩種；一頂三面，扇形四面不成形。 正方體：直線隔一格、Z 字看兩端；三組同和，二十一除三得七。 直柱藏面：每塊上下和為七，n 塊乘七扣頂面；接桌要保留，接觸算兩面。