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學習重點 盈虧問題先找「不變的總量」：同一筆總價、同一批物品，在兩種分攤或分配方式下都不改變，可以據此建立等式。 正確翻譯剩餘與短缺：實有總量＝分配需求量＋剩餘量；實有總量＝分配需求量－短缺量。合資購物時，商品總價＝收款－找回金額＝收款＋不足金額。 一盈一虧要相加：人數＝(盈餘＋短缺)÷每人分配量的差；求出人數後，題目若問總價或總數，還要代回計算。 掌握和差關係：兩數的和減去兩數的差，等於較小數的兩倍；和加上差，等於較大數的兩倍。 和倍問題先算總份數：較小數為一份，較大數是它的 m 倍就占 m 份，合計 m＋1 份；先求一份，再乘上所求數的份數。 核心觀念 一、盈虧問題：同一總量，列出兩種表示方式 盈虧問題常以合資購物、平均分物或安排每人食用量呈現。解題時先設人數為 n，再把同一個總價或物品總數各表示一次。兩種分配方式中的人數與實有總量都相同，改變的是每人分配量及剩餘、短缺情形。 情境數量關係列式方向 合資後有找錢收款超過總價總價＝每人出資額×人數－找回金額 合資後仍不足收款少於總價總價＝每人出資額×人數＋不足金額 分配後有剩餘實有量超過需求量實有量＝每人分配量×人數＋剩餘量 分配時仍短缺實有量少於需求量實有量＝每人分配量×人數－短缺量 購物與分物看似符號相反，其實都是比較「已有多少」與「需要多少」。購物時要表示的是商品總價：收的錢比總價多，所以從收款扣除找錢；收的錢不夠，所以收款再加上不足額。分物時要表示的是實有物品總數：分完還剩，所以在已分配數之外加上剩餘；分配不夠，所以從需求量扣除短缺。不要只看到「剩」或「找錢」就固定寫加號。 二、一盈一虧：總差額除以每人的差額 合資購物時，若每人出資較高金額 A 元會剩（找回）S 元，每人出資較低金額 B 元會缺 D 元，則： 總價＝A×n－S＝B×n＋D因此，(A－B)×n＝S＋D人數 n＝(剩餘金額＋短缺金額)÷每人出資差額。 分配物品時，若每人分較多的 A 個會缺 D 個，每人分較少的 B 個會剩 S 個，則： 物品總數＝A×n－D＝B×n＋S因此，(A－B)×n＝D＋S人數 n＝(短缺量＋剩餘量)÷每人分配量的差。 兩種情境都可理解為：從「還有剩」變成「仍不夠」，必須先用完原本的剩餘，再補足短缺，所以一盈一虧要相加。例如每人多分一個，總需求就增加 n 個；這個增加量正好等於原先剩餘與後來短缺的合計。 若兩種方式都是有剩，或都是不足，則比較的是兩次剩餘量或不足量的差，不能照套相加。通用原則仍是先把同一總量列成等式，再整理求解。 求出人數後，若題目問的是總價或物品總數，還須代回原式。最後以另一種分配方式檢查，確認剩餘與短缺都符合條件。例如算出總價後，用「每人出資×人數」與總價比較，看看差額是否正好是題目給的找錢或不足金額。 三、和差關係：先辨認誰大、誰小 設較大數為甲、較小數為乙，兩數的差以「甲－乙」表示。兩數的和為甲＋乙，因此： 和－差＝(甲＋乙)－(甲－乙)＝2×乙和＋差＝(甲＋乙)＋(甲－乙)＝2×甲 所以，較小數＝(和－差)÷2；較大數＝(和＋差)÷2。 「兩數的和比兩數的差多 k」應翻譯成和－差＝k，也就是 2×較小數＝k。這句話給的是和與差之間的距離，並沒有直接給出兩數的和或兩數的差。 若再知道甲是乙的 m 倍，可先由 k÷2 求乙，再乘 m 求甲；也可以設乙為 x、甲為 m×x，列出： (m×x＋x)－(m×x－x)＝k。 去括號時，減號要分別作用於括號內的每一項，因此後半部會成為－m×x＋x。整理後仍為 2×x＝k，能看出和減差會消去較大數，留下兩個較小數。求出 x 後，記得看題目問的是甲還是乙，問較大數就要再乘倍數。 四、和倍問題：總和除以總份數 若甲是乙的 m 倍，就把乙看成一份，甲看成 m 份，兩數合計為 m＋1 份。設總和為 T，則： 乙＝T÷(m＋1)甲＝T÷(m＋1)×m 例如兩數合計為 84，較大數是較小數的 6 倍，總份數就是 7 份。較小數為 84÷7＝12，較大數為 84÷7×6＝72。驗算：12＋72＝84，且 72＝12×6，兩個條件都符合。份數法的重點是先求出「一份是多少」，再依所求數的份數計算。 若題目要求選出算式，除了看數字，也要檢查運算意義： 算式意義判斷 T÷m把總和當成只有 m 份漏算較小數那一份，錯誤 T÷(m＋1)一份的量求的是較小數 T÷(m＋1)×m一份的量乘 m 份求的是較大數 T÷m×(m＋1)先除倍數再乘總份數關係顛倒，錯誤 除以總份數是在求較小數，最後乘倍數才是在求較大數。同層級的乘除由左至右計算，表示總份數的加法則須用括號括起來。 常考陷阱 把中間結果當答案：盈虧計算通常先得到人數，選項常直接放入人數作為誘答。題目若問價格，必須再算總價；作答前檢查答案單位是「人」、「元」還是「個」。 找錢的符號寫反：出錢後還能找錢，表示收款比總價多，總價＝收款－找錢。若誤寫成收款＋找錢，會得到偏大的錯誤選項。 把剩餘與短缺相減：一盈一虧代表跨過剛好足夠的位置，總差額要相加；只有同盈或同虧，才比較兩者差額。 「還少」的符號寫反：物品還少 D 個，表示現有數量比需求少 D 個，所以實有量＝需求量－D；合資還差 D 元，則商品價格＝收款＋D。 把「和比差多」誤認為「兩數相差」：前者是和減差，等於較小數的兩倍；後者才是較大數減較小數。兩種敘述不能混用。 問大數卻答小數：由「和－差」先求出的是較小數，選項常放入較小數或 k 本身；題目問較大數時，還要乘倍數。 和倍問題直接用總和除以倍數：總和包含較大數與較小數，總份數應為 m＋1，不能只除以 m。 只算一份就停止：T÷(m＋1) 求得較小數；要求較大數，還要乘 m。相反地，T÷m×(m＋1) 沒有依總份數分配總和，是顛倒關係的錯誤算式。 只驗算一個條件：和倍題須同時符合總和與倍數；盈虧題須同時符合兩種分配情況。符合其中之一，仍可能算錯。 記憶口訣 盈虧先找同總量，一盈一虧加起來；總差除以每人差，問價記得再代回。 和減差，小數兩個；和加差，大數兩個。 和倍先把份數加，總和除份求一份；題目要問幾份量，最後就乘幾份上。