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學習重點 掌握盒狀圖的五數摘要：最小值、第一四分位數、中位數、第三四分位數與最大值。 比較群體時，分別觀察中位數、全距與四分位差，辨認「中心位置」及「離散程度」的差別。 了解四分位區間代表的資料比例；區間越長，表示數值較分散，不能據此認定人數較多。 辨別盒狀圖能確定與不能確定的資訊，尤其是平均數、總人數、個別分數及確切名次。 以共同門檻比較不同群體的人數或月份數時，應檢查門檻與四分位數的位置，並注意同分、端點及嚴格不等號。 核心觀念 一、先看刻度，再讀五數摘要 一般基礎題的盒狀圖，以盒子的兩端表示第一、第三四分位數，盒內的線表示中位數，兩側鬚線的端點表示最小值與最大值。圖形可能橫放或直放，判讀時應沿著數值軸讀取，不能只憑線段在紙面上的高低或長短判斷。 統計量圖上的位置判讀重點 最小值數值較小一側的鬚端全體資料中的最低數值 第一四分位數 Q1盒子的低數值端約位於排序資料的四分之一處 中位數 Q2盒內的分隔線排序資料的中央位置 第三四分位數 Q3盒子的高數值端約位於排序資料的四分之三處 最大值數值較大一側的鬚端全體資料中的最高數值 若圖中另有離群值標記，鬚端未必就是全體最小值或最大值，須依題目的繪圖規則判讀。本單元一般讀圖題，應先確認各群體是否使用共同刻度，再比較對應位置；例如判斷「各班最高分是否都是100分」，就是逐一讀出各班高數值端鬚線所對應的刻度。 二、中位數比較中心位置，平均數不能直接讀取 比較各班成績的中位數，只看盒內分隔線所對應的分數。分隔線的數值越大，中位數越高；兩班分隔線對應相同分數，便可判定兩班中位數相同。盒子大小、最高分及最低分，都不能代替中位數的比較。 中位數是排序後的中央值，平均數則是資料總和除以筆數。盒狀圖沒有呈現每筆資料，因此無法求出平均數；即使兩群的五數摘要完全相同，平均數仍可能不同。中位數較高，也不能直接推論平均數較高或每位學生的成績都較高。選項若寫「平均數為某值」或「兩班平均數一樣」，在只給盒狀圖的情況下都無法成立。 若有35筆成績，中位數是由小到大排列後的第18筆，必定是某人的實際成績。若有12筆月份雨量，中位數則是排序後第6筆與第7筆的平均，未必等於任何一個月的實際雨量。 三、全距與四分位差：比較的範圍不同 比較項目計算方式代表意義圖上對應 全距最大值－最小值全部資料的數值跨度兩鬚端之間的總長度 四分位差Q3－Q1中間約50%資料的數值跨度盒子的長度 盒子長度對應四分位差，兩端極值的差對應全距。四分位差越小，表示中間約一半的資料越集中；全距越小，表示最高與最低數值的差距越小。兩者觀察的範圍不同，不能互相替代。 題目問「一年中各月份降雨量差距最小」，比較的是最高與最低月份的落差，就應比較各站全距，也就是整條圖形（含鬚線）最短的那一站；若問「中間一半月份的雨量最集中」，則比較盒子長度。某站盒子很短，但鬚線很長，可能表示多數資料集中，少數極端資料卻拉大全距。 四分位差務必用讀出的Q3減去Q1。例如兩者相差37，四分位差就是37；不能改用中位數減Q1、Q3減中位數，也不能把全距當成四分位差。計算前先確認讀到的是盒子兩端，而不是鬚端或中線。 四、四等分的是排序位置，不是數值長度 四分位數依排序位置，把資料概略分成四部分，每部分約占25%。因此，Q2到Q3的區間較長，表示這部分資料的數值跨度較大，並不表示資料筆數較多。當各班人數相同時，各班Q2到Q3的人數大致相同，不能因某班的Q2到Q3較長，就說這一段人數最多。 反過來說，若同樣約25%的資料落在較短的數值區間，代表這一段較集中；落在較長區間，代表較分散。盒狀圖適合觀察分布的疏密與跨度，不能把圖形面積或線段長度當成人數。 題目說「資料集中於某兩值之間」，通常是指盒子範圍，也就是中間約一半的資料落在 Q1 到 Q3 之間；若該區間恰與某群體的盒子兩端相符，這樣的敘述就可接受。但若寫成「全部資料都在某區間內」，就必須以最小值與最大值檢查。 實際資料可能有同分，四分位數也有不同計算慣例，所以「約25%」不能任意改成「閉區間內恰好占25%」。若要計算包含端點的確切人數，還須知道排序規則、同分情形與區間是否包含端點。 五、共同門檻、實際觀測值與名次 比較「超過某分數的人數」或「雨量超過某門檻的月份數」，應先把門檻放到各群體的數值軸上，判斷它位於Q1、Q2、Q3的哪一側，再估計高於門檻的資料比例。最大值較高，只能說最高紀錄較高，不能據此判定超過門檻的筆數最多。 門檻所在位置高於門檻的資料比例（約）以12個月為例 低於最小值全部12個月 介於最小值與Q1之間超過75%多於約9個月 介於Q1與Q2之間介於50%與75%之間約6～9個月 介於Q2與Q3之間介於25%與50%之間約3～6個月 介於Q3與最大值之間不到25%少於約3個月 高於最大值沒有0個月 比較各群體時，門檻在哪個群體中落在越「低」的位置（越靠近或低於Q1），該群體超過門檻的筆數通常越多。若甲群的門檻落在Q2以下、乙群的門檻落在Q3以上，即可判定甲群超過門檻的筆數較多；若兩群門檻落在同一個四分位區間，通常無法確定誰較多。「超過150」不包含150，「至少150」則包含150，兩者不能混用。 盒狀圖標示的數值，也未必都是實際出現過的觀測值。最小值與最大值必為實際資料；中位數或四分位數若由相鄰數值取平均而得，就可能沒有任何一筆資料恰好等於該值。因此，看見圖上標示某個分數（例如某四分位數的位置），不能一律推論「班上一定有人考該分數」。 不同班學生考相同分數，其班內名次取決於各班有多少人分數更高，以及如何處理同分。盒狀圖只提供粗略的排序位置，通常無法決定確切名次。判斷「名次有可能相同」時，先看該分數在各班落在哪個四分位區間，推出各班可能的名次範圍；只要各班的可能名次範圍有重疊，就存在符合圖形的成績安排，名次便「有可能」一樣。「有可能相同」與「一定相同」強度不同，不能只因各班中位數不同就否定可能性。 常考陷阱 「某班Q2～Q3（或盒子）較長，所以這段人數最多」：各班人數相同時，每個四分位區間都約占25%，人數大致相同；較長只代表較分散。 「兩班圖形相似，所以考試人數相同」：相同的五數摘要可以來自不同筆數的資料，不能由圖形反推人數。 「中位數相同，所以平均數相同」或「平均數為某值」：盒狀圖無法求出平均數，這類選項通常是錯的。 「最高分相同，所以全距相同」：全距還要扣除最低分；必須同時檢查兩端。 「盒子最短，所以全部資料差距最小」：盒短只保證中間約50%的資料跨度較小，整體差距要比較全距（整條圖的長度）。 「資料集中在某區間」與「全部資料都在某區間」混用：前者看盒子，後者看最小值與最大值。 四分位差算錯：四分位差＝Q3－Q1，不是Q2－Q1，也不是全距；讀數時先確認是盒子兩端。 「圖上有標示某分數，所以一定有人考到」：先判斷該位置是極值，還是可能由平均計算得到的中位數、四分位數。 「最高雨量最大，所以超過門檻的月份最多」：極值與超標筆數是不同資訊；須依門檻相對於各四分位數的位置判斷，門檻落在越低的四分位位置，超標筆數越多。 忽略「一定」「可能」與「超過」：一定成立須有充分資訊；可能成立只須存在相容情況；超過則不含等於門檻的資料。 記憶口訣 「中線看中央，盒長看中半；兩端算全距，長短非人量。」 「平均不能猜，名次莫硬排；門檻看位置，同值要分開。」