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學習重點 辨認直線的各種方程式形式，了解水平線 y＝b、鉛直線 x＝a 也都是直線。 利用聯立方程式求兩直線交點，並把「交點在坐標軸上」轉成某個坐標為零的條件，求出參數。 依坐標的正負判斷點所在象限，注意坐標軸上的點不屬於任何象限。 求出直線的兩軸截距，運用截距與「直線是否通過原點」判斷坐標軸與原點的可能位置。 由兩個已知點求直線方程式，再求與兩坐標軸的交點，並寫出完整演算過程。 核心觀念 一、直線不一定都能寫成斜截式 平面上的直線可寫成Ax＋By＝C，其中 A、B 不可同時為零。辨認時，要看方程式所表示的所有點形成什麼圖形，不能只看有沒有同時出現 x、y。 方程式圖形特徵判斷關鍵 x＝a鉛直直線每一點的橫坐標固定，縱坐標可變；a＝0 時就是 y 軸。 y＝b水平直線每一點的縱坐標固定，橫坐標可變；b＝0 時就是 x 軸。 Ax＋By＝CA、B 不同時為零時表示直線B≠0 時，可改寫成 y＝−(A/B)x＋C/B；B＝0 時為鉛直線。 y＝mx＋b斜截式m 是斜率，b 是 y 截距；m＝0 時為水平線。 鉛直線的斜率未定義，不能寫成 y＝mx＋b，但仍然是直線。例如 x＝−3 表示所有橫坐標為 −3 的點；y＝4 則表示所有縱坐標為 4 的點。上表四種形式（A、B 不同時為零時）在平面坐標上的圖形全部都是直線。若 A、B 都是零，方程式就變成恆等式或矛盾式，不能視為一條直線。 二、兩直線交點：同時滿足兩個方程式 兩直線的交點坐標，必須同時滿足兩個方程式，因此可用代入消去法或加減消去法求解。求出坐標後，代回兩式檢查，可避免移項、乘除或正負號錯誤。 若題目先給交點的位置，應先利用位置條件簡化計算： 交點條件代入條件坐標形式 在 x 軸上y＝0（x，0） 在 y 軸上x＝0（0，y） 在原點x＝0、y＝0（0，0） 例如兩直線為 tx＋3y＝12 與 x＋y＝3，且交點在 x 軸上，先令 y＝0。由第二式得到 x＝3，再代入第一式得到 3t＝12，所以 t＝4。先用不含參數的式子求交點，再回代求參數，通常最省時。參數可能是分數，不必刻意湊整數，照算即可。 求得參數後，若還要判斷另一個點的象限，必須把參數代入該點的兩個坐標，再分別判斷正負。 象限x 的正負y 的正負 第一象限正正 第二象限負正 第三象限負負 第四象限正負 像（t²，2t）這類點，當 t≠0 時，橫坐標一定為正；縱坐標則與 t 同號。因此 t＞0 時在第一象限，t＜0 時在第四象限；t＝0 時在原點。坐標軸上的點不屬於任何象限。不必急著算出精確坐標，只要確定兩坐標的正負即可作答。 三、截距與原點位置：先算，再看圖 x 截距是直線與 x 軸交點的橫坐標；y 截距是直線與 y 軸交點的縱坐標。截距是數值，交點則要寫成有順序的坐標對。 求與 x 軸的交點：令 y＝0，解出 x，寫成（x，0）。 求與 y 軸的交點：令 x＝0，解出 y，寫成（0，y）。 對 Ax＋By＝C 而言，若 A、B 都不為零，兩軸交點分別為（C/A，0）、（0，C/B）。截距可以是正數、負數或零，不可一律當成正的長度。另外，C≠0 時，(0，0) 代入不成立，直線不通過原點；這時兩個截距都不為零。 若圖上各有兩條候選線可能是 x 軸、y 軸，被選作坐標軸的兩條線，其交點才是原點。判斷可依下列順序進行： 由斜直線的方程式算出兩軸截距，並確認直線是否通過原點。 暫定一組候選坐標軸，找出它們的交點作為候選原點。 若候選原點落在斜直線上，而斜直線不通過原點，則可直接排除。 若圖中標示了正方向，再檢查斜直線與候選 x 軸、y 軸交點的位置是否符合截距正負；若圖中未標示正方向與單位，不宜只憑目測方向或長度比排除。 逐一檢查各候選原點；題目問「可能」時，應保留所有符合條件的位置，答案可能不只一個。 例如 −2x＋3y＝−12 的 x 截距為 6、y 截距為 −4，且常數項不為零，所以直線不過原點。在向右為 x 正向、向上為 y 正向的圖中，斜直線與 x 軸的交點應在原點右側，與 y 軸的交點應在原點下方。不能只憑圖中某點看起來居中，就認定它是原點。 四、由兩點求直線，再求兩軸交點 設相異兩點為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）。若 x₁≠x₂，先求斜率： m＝(y₂−y₁)/(x₂−x₁) 接著用點斜式 y−y₁＝m(x−x₁)，或代入斜截式求出 b＝y₁−mx₁，得到 y＝mx＋b，也就是線型函數 f(x)＝mx＋b。兩點的相減順序必須一致，不能分子用「後減前」、分母卻用「前減後」。 當 m≠0 時，令 y＝0 得 x＝−b/m；令 x＝0 得 y＝b。因此若 A、B 分別是與 x 軸、y 軸的交點，便有A＝（−b/m，0）、B＝（0，b）。 示範：通過（1，5）、（3，1）的直線，斜率 m＝(1−5)/(3−1)＝−2；由 y−5＝−2(x−1) 得 y＝−2x＋7。令 y＝0，得 x＝7/2，所以與 x 軸交於（7/2，0）；令 x＝0，得 y＝7，所以與 y 軸交於（0，7）。最後可把兩點代回方程式驗算。 非選擇題應依序寫出「求斜率、求方程式、代入坐標軸條件、列出交點」。只寫最後坐標，無法完整呈現演算依據。 特殊情形也要先檢查：若兩點橫坐標相同，形成鉛直線，不能表示成函數 y＝f(x)。若兩點縱坐標相同，則為水平線 y＝b；b≠0 時不與 x 軸相交，b＝0 時與 x 軸重合，不能說只有一個 x 軸交點。 常考陷阱 「只有 y＝mx＋b 才是直線」：忽略鉛直線；x＝常數也表示直線，選項「只有丁」「只有丙、丁」這類都是陷阱。 「方程式缺少 x 或 y，就不是直線」：缺少一個變數，表示水平線或鉛直線，仍是直線。 「交點在 x 軸，所以 x＝0」：應為 y＝0；在 y 軸上才是 x＝0。 「求 x 截距就令 x＝0」：求哪一軸的截距，要令另一個坐標為零。 「平方一定是正數」：平方也可能為零，須先確認參數是否為零；參數不為零時，平方才一定為正。 「截距就是原點到交點的距離」：截距帶有正負號，距離才取其絕對值。 「原點位置一定只有一個可能」：應依全部條件逐一檢查，題目問「可能」時常為多選；只有確實違反條件（如候選點落在不過原點的直線上）才排除。 「A、B 的坐標可以互換」：須依題目指定的軸別命名，並遵守坐標先 x、後 y 的順序。 記憶口訣 橫軸消縱，縱軸消橫；求交聯立，求參回代。在 x 軸令 y＝0，在 y 軸令 x＝0；先求共同交點，再代回求參數。 象限逆時針：正正、負正、負負、正負。只要有一個坐標為零，就先判斷坐標軸，不列入象限。 常數不為零，直線不過原點。候選原點若落在這條線上，直接刪除。