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學習重點 分清楚正方體的邊長、面對角線與空間對角線，並能用兩次畢氏定理推導長度。 以「細桿長度不超過箱內空間對角線」判斷能否容納，先統一單位，再挑選符合條件的最小規格。 掌握長方體共有十二條邊，將所有邊長總和轉換為長、寬、高的關係。 結合邊長總和與空間對角線，利用平方恆等式求出表面積，不必先求出長與寬。 核心觀念 一、從平面對角線到空間對角線 長方體的長、寬、高分別為 a、b、c。先看長與寬構成的底面，底面對角線長為 √(a²＋b²)；再將底面對角線與高視為直角三角形的兩股，就能求出連接兩個相對頂點的空間對角線： d²＝[√(a²＋b²)]²＋c²＝a²＋b²＋c²，因此 d＝√(a²＋b²＋c²)。 空間對角線穿過立體內部，連接不在同一面上的相對頂點。長方體兩頂點間的最遠距離，就是空間對角線長；若只計算某一個面的對角線，便少考慮了一個方向的長度。 比較項目正方體，邊長為 s長方體，長寬高為 a、b、c 邊長sa、b、c 面對角線s√2依所在面為 √(a²＋b²)、√(a²＋c²) 或 √(b²＋c²) 空間對角線s√3√(a²＋b²＋c²) 正方體是長、寬、高相等的長方體，因此空間對角線可直接化成 √(3s²)＝s√3。記公式時，也要知道它來自兩次畢氏定理，才能避免把 √2 與 √3 混用。 二、正方體容納細桿：比較空間對角線 題目若說明木桿不可伸縮，且寬度、厚度不計，就把它視為一條固定長度的線段。木桿可以傾斜放置，不必平行於箱子的邊，也不必限制在某一個面上；正方體內可容納的最長直線段，就是空間對角線。 設木桿長為 L、正方體紙箱邊長為 s，則能完全容納的條件為 L ≤ s√3，也就是 s ≥ L／√3。等號代表木桿兩端恰好位於一組相對頂點，在題目忽略粗細的理想條件下可以容納。 計算前必須統一單位。長度以公尺表示、箱子邊長以公分表示時，要先使用 1 公尺＝100 公分換算。若細桿長為 100 公分，理論上所需的最小邊長為 100／√3 公分，約為 57.7 公分。 但「理論上的最小邊長」與「商店販售規格中的最小邊長」是兩件事。若紙箱只有特定尺寸，就要選擇不小於理論門檻的最小規格，不能直接把計算值當成可購買的尺寸，也不能任意四捨五入後作答。 選擇題可以避免小數近似：因為 L 與 s 都是正數，L ≤ s√3 等價於 L² ≤ 3s²。將候選規格由小到大代入，第一個滿足條件者就是答案。 紙箱邊長 s（公分）3s²與 100²＝10000 比較空間對角線約值能否容納 100 公分細桿 404800小於 10000約 69.3 公分不能 6010800大於 10000約 103.9 公分能，且為最小合格規格 10030000大於 10000約 173.2 公分能，但不是最小 12043200大於 10000約 207.8 公分能，但不是最小 因此長 1 公尺的細桿，在上述規格中最小只需邊長 60 公分的正方體紙箱。 三、長方體所有邊長總和：每種長度各有四條 長方體共有十二條邊，其中長、寬、高各出現四次。因此，若所有邊長總和為 E，應列成 E＝4a＋4b＋4c＝4(a＋b＋c)，所以 a＋b＋c＝E／4。 已知高 c 後，可進一步求得 a＋b＝E／4－c。這個結果只表示長與寬的和，不能因此認定長與寬相等；題目沒有說底面是正方形，就不能自行增加 a＝b 的條件。 四、由空間對角線求表面積：先求和，再求積 長方體表面積由三組全等的相對面組成，公式為 S＝2(ab＋ac＋bc)＝2[ab＋c(a＋b)]。因此，只要知道高 c、長寬和 a＋b，以及長寬積 ab，就能算出表面積。 空間對角線提供 a²＋b²＝d²－c²，再利用 (a＋b)²＝a²＋b²＋2ab，可得： ab＝[(a＋b)²－(d²－c²)]／2。 例如，若高為 4 公分、所有邊長總和為 88 公分，便有 a＋b＋c＝88÷4＝22，進而得到 a＋b＝18。若兩頂點最遠距離（空間對角線）為 14 公分，則 a²＋b²＝14²－4²＝196－16＝180，因此 ab＝(18²－180)／2＝(324－180)／2＝72。 代入表面積公式，S＝2[72＋4×18]＝2(72＋72)＝288 平方公分。這種解法直接使用題目提供的關係，不必額外解出長與寬各是多少。 更快的算法：將三邊一起處理，由 (a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2(ab＋ac＋bc)，得到 S＝(a＋b＋c)²－d²＝(E／4)²－d²。以上述數值而言，就是 22²－14²＝484－196＝288。注意此式中高的數值其實用不到，只要有邊長總和與空間對角線就能求出表面積。 驗算：a＋b＝18、ab＝72，可知長、寬為 12 與 6（兩數和 18、積 72）。檢查：√(12²＋6²＋4²)＝√(144＋36＋16)＝√196＝14，邊長總和 4(12＋6＋4)＝88，表面積 2(72＋48＋24)＝288，全部吻合。 常考陷阱 認為箱子邊長必須至少等於木桿長：這只考慮木桿沿邊放置，會誤選 100 公分。細桿可以在箱內傾斜，應以空間對角線判斷。 用 s√2 判斷立體容納：s√2 是面對角線，只涵蓋同一平面；正方體內最長的直線段應為 s√3。若用面對角線判斷，60 公分的箱子只有約 84.9 公分，會誤以為放不下。 只看計算值約 57.7 就選最接近的 40：40 公分小於門檻，空間對角線僅約 69.3 公分，放不下；必須選「不小於門檻」的最小規格。 把不同單位的數值直接比較：公尺與公分先換成同一單位，之後才能代入不等式。表面積的答案則必須使用平方單位。 把所有邊長總和寫成 a＋b＋c：十二條邊中，每種長度都有四條，必須先除以 4，才能取得三邊長度和。 把最遠頂點距離當成長、寬或面對角線：「兩頂點的最遠距離」對應 d²＝a²＋b²＋c²，三個方向都要納入。 誤用平方公式：(a＋b)² 不等於 a²＋b²，兩者相差 2ab。漏掉交叉項，就無法正確求出底面積。 表面積漏乘 2，或算成體積：ab＋ac＋bc 只計入三個面（此例為 144），完整表面積要乘 2 得 288。abc 則是體積（此例為 288 立方公分，數值巧合相同，但意義與單位不同），不能混用。 記憶口訣 「面斜根二，體斜根三；細桿入箱，比體對角。」適用於正方體，提醒自己分清平面與空間。 「總邊除四得三邊，和平方減斜平方得表面。」先將所有邊長總和除以 4，再以三邊和的平方減去空間對角線的平方，即得長方體表面積。