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學習重點 掌握「總量＝份數×每份量」，依已知量與未知量辨別等分除、包含除。 等分除是「已知總量、份數，求每份量」；包含除是「已知總量、每份量，求份數」。 將「除法類型」與「量的性質」分開判斷，避免把有瓶、杯、箱等容器的情境一律視為離散量。 能辨識單價、單位換算、速率及倍數比較中的除法意義，並說明兩類除法在學生解題想法上的差異。 核心觀念 一、先找三個量，再判斷除法類型 等組情境的基本關係是：總量＝份數×每份量。除法就是已知其中兩個量，求另一個量。判斷時，先問「全部有多少？」「分成幾份？」「每份有多少？」，再確認題目要求哪一個量。 比較項目等分除包含除 已知條件總量、份數總量、每份量 所求未知量每份量份數 數量關係總量÷份數＝每份量總量÷每份量＝份數 思考重點固定份數，每份應分到多少？固定每份量，總共能分出幾份？ 常見問法每組幾人、每瓶多少、每件多少元可裝幾箱、可剪幾段、需要幾分鐘、是幾倍 等分除中的「等」是各份一樣多。已知要平均分成若干組，求每組的人數，便是等分除。包含除則先規定每組的人數，再求可以組成多少組。兩者都可能有分組動作，關鍵是「組數已知」還是「每組量已知」。 二、除法類型與離散量、連續量是兩個判斷面向 離散量是以一個、一顆、一人等單位計數的量，例如學生人數、球的顆數、糖果顆數。連續量則是以測量表示的量，例如長度、容量、重量、時間，可以使用小數或分數表示。 這項分類與等分除、包含除並不互斥。人數可以平均分成固定組數，也可以依固定人數分組；液體可以平均倒入固定數量的容器，也可以按固定容量裝瓶。因此，離散量與連續量都可能出現在兩種除法中，組合起來共有四種情形： 量的性質＼除法類型等分除（求每份量）包含除（求份數） 離散量若干人平均分成固定組數，每組幾人？若干顆球，每固定顆數裝一箱，可裝幾箱？ 連續量若干公升飲料平分成固定瓶數，每瓶幾公升？若干公尺緞帶，每固定長度剪一段，可剪幾段？ 例如把一桶液體平均裝入數個瓶子，若已知瓶數、求每瓶容量，便是連續量情境的等分除。雖然瓶子本身能逐一計數，題目所分配、所求的量仍是液體容量（公升），不能只看容器名稱就判成離散量。 三、單價、換算、速率與倍數的辨識 單價問題：在同價商品的情境中，已知購買件數與總價，求每件價格，就是把總價平均分配到已知件數，屬於等分除。此時商品件數是份數，單價是每份量。 單位換算：將公分換成公尺，可以用「每100公分算1公尺」理解。已知總長與每個大單位所包含的長度，求有幾個大單位，可從包含除的角度解讀。它並不是把長度平均分成100份。 速率問題：已知路程與每分鐘行進的距離，求所需時間，可將每分鐘的路程看成一份。每份量已知，所求是有幾個「一分鐘」，因此具有包含除的結構。基本關係為時間＝路程÷速率。 倍數比較：求甲量是乙量的幾倍，是把乙量當作一個比較單位，問甲量包含幾個乙量，因此也可用包含除理解。比較前須統一單位；例如6公升是2公升的3倍，所得的3表示倍數，不是3公升。 四、包含除中的整份、餘數與分數量 「最多裝滿幾箱」表示只計算完整的箱數。例如95個物件，每箱裝12個，95÷12＝7餘11，最多裝滿7箱，剩下11個。若問「全部裝完至少需要幾箱」，則另需一箱，答案為8箱。除法類型相同，答案的取法仍須配合問題要求。 剪緞帶或繩子的情境，若已知總長與每段長度，求段數，即使長度以分數表示，也仍是包含除。整數、分數或小數只影響計算，不改變已知量與未知量的角色。若要求完整段數，還要確認是否有不足一段的剩餘長度。 五、學生解題想法：分配與分組的差異 同一個除法算式，可以對應不同的情境。以 12÷4＝3 為例： 等分除情境：「12顆糖平分給4人，每人幾顆？」學生先固定4位接受者，採「一人一個、輪流分」的方式反覆分配，直到分完，再看每人分得多少。除數4是份數（人數），商3是每份量（每人3顆）。這是份數固定，逐步找出每份量。 包含除情境：「12顆糖每4顆裝一袋，可裝幾袋？」學生每次拿出（圈出）4顆，或從12中連續減去4（12－4－4－4＝0），再數拿了幾次。除數4是每份量（每袋4顆），商3是份數（3袋）。這是每份量固定，逐步找出份數。 比較等分除包含除 除數意義份數每份量 典型操作輪流分配、一一對應分給各份依固定量分組、連減或連加累計 商的意義每份有多少可以分成幾份 與乘法的連結4×□＝12（幾的4倍是12，求被乘數）□×4＝12（幾個4是12，求次數） 申論作答要同時交代除數代表什麼、學生怎麼操作、商代表什麼。只寫「都是用除法」不能呈現差異；只列計算結果，也未說明學生如何理解問題。分配與分組是典型解題方式，學生也可能用乘法反推，重點仍在數量角色。 常考陷阱 看到「每」就選包含除：「每件多少元」「每瓶多少公升」是在問未知的每份量，屬等分除；「每箱裝若干個」若已給定每箱量，才是包含除的重要線索。 看到「分成幾組」就直接分類：要區分「已知分成固定組數」與「詢問能分成多少組」。前者若求每組量，是等分除；後者若已知每組量，是包含除。 看到「平分」便停止檢查：平均分配是重要線索，仍要核對題目究竟已知份數，還是已知每份量，不能只靠單一字詞作答。 把瓶數當成容量的性質：瓶子可計數，不代表瓶內液體是離散量。應看實際分配的是物件個數，還是容量、長度等測量量；公升、公尺屬連續量。 認為換算、時間或倍數都不是包含除：包含除不一定有實際裝箱或剪段的動作；以固定單位量衡量總量（幾個100公分、幾個每分鐘路程、幾個乙量），也具有包含除結構。 以除數大小或算式外觀判斷：相同算式可以表達不同情境，必須回到除數是「份數」還是「每份量」判斷。 忽略問句中的完整份數要求：「最多裝滿」取完整份數；「全部裝完至少需要」則在有剩餘時增加一份，不能一律四捨五入。 誤讀否定問法：遇到「不是包含除」，先找出各選項的未知量；已知總量與份數、求每份量的情境，就是等分除，即為答案。 記憶口訣 知幾份，求每份，是等分；知每份，求幾份，是包含。 等分輪流分，包含一次拿一份。 先看所求，再看已知；分的是什麼量，另外判性質。