等底等高與對角線分割

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建立於 2026年11月10日

學習重點 掌握平行四邊形面積＝底×高，能在方格紙上找出底與對應的垂直高度，判斷圖形是否等積。 理解剪補與平移不改變面積；平行四邊形即使傾斜程度不同，只要等底等高，面積就相等。 處理田地中的斜向道路時，先由面積還原田地邊長，再把道路看成平行四邊形，用「沿邊界量的寬×兩邊界間的垂直距離」求面積。 運用矩形對角線平分面積，以及「等量減等量，餘量相等」完成等積證明。 知道平行四邊形的兩條對角線會分出四個等面積三角形，並能辨別適用的四邊形，包括正方形、長方形、菱形，但不包括梯形。 核心觀念 一、面積看底與高，不看傾斜程度 平行四邊形的面積為底×高。選定一條邊作為底後，高就是這條底邊與其對邊所在平行線之間的垂直距離。高可以畫在圖形內，也可以畫在圖形外；位置不同，不影響高度與面積。 在方格紙上，若底沿著橫向格線，可數底跨越多少個單位，再數上下兩條平行底邊相隔多少列方格。若底沿著直向格線，則改數左右兩條平行線的間距。數的是格子的間隔，不是格線條數。若每小格邊長為1單位，面積的單位就是平方單位。 比較數個平行四邊形時，先找出各自的底與對應高。只要底長相等、高也相等，面積就相等，無須比較斜邊長短、角度大小或外觀看起來是否狹長。圖形向左右傾斜，可以想成把一側的三角形剪下，平移補到另一側形成矩形；剪補前後面積不變。方格紙上常見的題型就是畫出幾個傾斜程度不同、但底與高格數相同的平行四邊形，不論題目問「哪一個最大」或「哪一個最小」，正確答案都是面積相等。 要注意：等底等高是面積相等的充分條件，但面積相等未必等底等高。例如底為6、高為4與底為8、高為3的平行四邊形，面積都為24平方單位。反過來，只有底相等或只有高相等，都不足以判斷面積相等。 二、三角形等積：底與高必須成對比較 三角形面積＝底×高÷2。因此，等底等高的三角形面積相等。若兩個三角形共用同一條底，且另一個頂點位於與底平行的同一直線上，兩者高度相等，面積也相等。 若兩個三角形的底位於同一直線上，且共用另一個頂點，兩者具有相同的高，此時面積比等於底長比。因此，同高且底長相等，就能直接判斷等積。這是處理對角線分割時最常使用的依據。 比較情況面積關係判斷重點 兩個平行四邊形等底等高面積相等都使用底×高 兩個三角形等底等高面積相等都使用底×高÷2 三角形與平行四邊形等底等高三角形面積為平行四邊形的一半不可忽略÷2 兩個三角形同高面積比等於底長比先確認所選的底位於同一直線上 三、田地中的道路面積：先還原田地尺寸，再找對應底高 長方形面積＝長×寬。若已知長方形田地面積為96平方公尺，其中一邊長12公尺，另一邊便是96÷12＝8公尺。 常見的圖形是一條斜向穿過田地的道路，道路兩側互相平行，兩端分別落在田地的一組對邊上，所以道路是一個平行四邊形。題目標示的「寬2公尺」是道路在田地邊界上截出的長度，可當作底；這組對邊之間的垂直距離就是高。若道路橫跨的是相距8公尺的兩條邊，道路面積便是2×8＝16平方公尺。 也可以用剪補理解：把道路兩側的田地向中間平移拼合，剩下的田地會是一個長方形，田地面積減去這個長方形面積，同樣得到道路面積。關鍵是：道路再斜，面積仍是「邊界上的寬×兩邊界間的垂直距離」，不是乘上斜向的道路長。作答時要依圖確認2公尺落在哪一組對邊上，再乘上該組對邊之間的距離，不能看到12就直接拿來相乘。 四、矩形對角線與面積相減證明 矩形的一條對角線將矩形分成兩個全等三角形，所以兩者面積相等，各為矩形面積的一半。在對角線上任取一點，再通過此點作分別平行於矩形兩組邊的直線，便會把原矩形分成四個小矩形。 其中，原對角線穿過兩個小矩形，而且在這兩個小矩形內也各是一條對角線，所以這兩個小矩形分別被切成面積相等的兩半。其餘兩個小矩形位於原對角線的兩側，面積相等，但形狀不一定相同。 以矩形ABCD、對角線BD上一點I為例：過I作長的垂線交AD於E、交BC於F；作寬的垂線交AB於G、交CD於H。對角線BD穿過的小矩形是GBFI與EIHD，未被穿過的是AGIE與IFCH，也就是要證明面積相等的兩塊灰色區域。證明可依下列順序書寫： BD為矩形ABCD的對角線，所以△ABD面積＝△CDB面積。 BI為矩形GBFI的對角線，所以△GBI面積＝△FIB面積。 ID為矩形EIHD的對角線，所以△EID面積＝△HDI面積。 矩形AGIE面積＝△ABD－△GBI－△EID；矩形IFCH面積＝△CDB－△FIB－△HDI。 依等量減等量，餘量相等，得矩形AGIE面積＝矩形IFCH面積。 這類證明的重點是交代「為什麼原來相等」及「為什麼扣掉的相等」，不能只憑圖形看起來相近便下結論。即使I不在對角線中點，上述關係仍然成立。 五、平行四邊形的兩條對角線分成四個等積三角形 設平行四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD交於O。由平行四邊形的對角線互相平分，可得AO＝OC、BO＝OD。 比較△AOB與△BOC：以AO、OC為底，兩底位於同一直線AC上，又共用頂點B，所以等底等高，面積相等。比較△BOC與△COD：以BO、OD為底，兩底位於同一直線BD上，又共用頂點C，所以面積也相等。同理可連結其餘三角形，得到四個三角形面積都相等，各占原平行四邊形面積的四分之一。 正方形、長方形、菱形都是平行四邊形的特殊情形，因此都具有這項性質。梯形的兩條對角線不互相平分，分出的四個三角形不會都等積。在梯形中，只有靠兩腰的兩個三角形面積相等，靠上底與下底的兩個三角形面積不相等，等腰梯形也一樣。 四邊形對角線互相平分沿兩條對角線剪成四個三角形是否等積 正方形是是 長方形是是 菱形是是 平行四邊形是是 梯形否否，只有兩腰旁的兩個三角形等積 常考陷阱 「比較斜的平行四邊形面積比較大或比較小」：傾斜程度不能決定面積，應比較底與垂直高度的乘積；方格紙上等底等高的圖形，答案要選「面積相等」。 「斜邊就是高」：高必須垂直於所選的底。只有當某邊與底垂直時，該邊長才能直接作為高。 「等底就等積」或「等高就等積」：還要確認另一項條件，不能只驗證一項。 「道路面積＝2×12＝24」：道路的寬要乘上它橫跨的兩邊界之間的距離；先由面積求出另一邊為8，再算2×8＝16。 「道路面積＝2×2＝4」或只算一部分：道路是貫穿田地的整條平行四邊形，高是整段邊界間距。 「只有正方形和菱形能分成四個等積三角形」：誤把對角線垂直當成必要條件；關鍵是對角線互相平分。 「只有正方形、長方形和菱形」：漏掉一般平行四邊形；對角線不等長、不垂直仍可四等積。 「梯形也能四等積」：梯形對角線不互相平分，四個三角形不全等積。 「四個三角形等積，所以四個三角形全等」：面積相等不代表邊長、角度或形狀相同。 證明時只寫「看起來一樣大」或只寫大三角形相等：必須同時說明扣除的兩組小三角形也分別相等。 記憶口訣 面積看底高，斜邊別亂套；道路寬乘距，田地先還原；對角互平分，四塊面積同；梯形不平分，四塊不相同；整體先等分，等量減等量。