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學習重點 本單元的關鍵是判斷方程式變形前後是否「同解」，不一定要先求出未知數，但求出解再代入檢驗也是可靠的方法。 掌握等量公理：等號兩邊同加、同減同一個數，或同乘、同除同一個非零數，才能保證同解。 正確消去分母：選取各分母的公倍數（通常用最小公倍數），乘到等號兩邊的每一項，包含沒有分母的整數項。 熟練分配律：分母消去後，分子若含加減運算，必須先視為一個整體，再依分配律展開。 特別檢查負號：括號前的負號作用於括號內每一項，不能只改第一項的符號。 區分同解與表面相似：式子的外觀可以不同；只要解集合相同，就是同解方程式。 核心觀念 一、什麼是「與原方程式有相同的解」？ 方程式的解，是代入未知數後能讓等號成立的數。同解方程式指解集合完全相同的方程式。例如，2x＋4＝10 與 x＋2＝5 的解都是 x＝3，因此兩式同解。 判斷同解有兩條路： 檢查變形規則：看選項是否由原式經過正確的等量操作得到，逐項核對係數與符號。 求解後代入：先解出原方程式（一元一次方程式通常只有一個解），再代入各選項，看哪一個等號成立；若有多個選項成立，再化簡確認它們不是恆等式或矛盾式。 選擇題若選項都是「消去分母後的樣子」，直接檢查變形規則較快；若選項已經移項、合併或乘上不同倍數，用代入法比較不容易看錯。 二、等量公理：操作必須左右一致，且能還原 操作是否保證同解判斷關鍵 兩邊同加或同減同一個數是左右必須做相同操作。 兩邊同乘同一個非零數是可再除以該數，還原原式。 兩邊同除以同一個非零數是除數不能為零，且要除到每一項。 兩邊同乘以零不保證原式會變成 0＝0，失去原來的限制。 只有一邊或只有部分項乘上一個數不保證破壞等號兩邊原有的相等關係。 例如，x＝3 的兩邊同乘以零，雖然得到成立的等式 0＝0，但後者對所有實數都成立，與原式的解集合不同。因此，「得到成立的等式」不等於「得到同解方程式」。 常說的「移項變號」，其實是兩邊同加或同減同一項。例如，3x＋5＝11 變成 3x＝11－5，是兩邊同減 5。理解操作來源，就不容易把乘除關係誤當成加減移項。 三、消去分母：整個等式的每一項都要乘 當分母都是已知的非零整數時，可將等號兩邊同乘各分母的公倍數。通常選最小公倍數，能讓後續係數較小；選其他非零公倍數也能得到同解方程式。 例如，(x＋1)／3－(x－2)／4＝2，分母 3、4 的最小公倍數是 12。兩邊同乘 12，應得到： 4(x＋1)－3(x－2)＝24。 這一步同時包含三個操作：12 除以 3 得到係數 4；12 除以 4 得到係數 3；右邊的整數 2 也乘以 12，變成 24。不能只把分母消掉，卻保留右邊的 2。 若同一邊另有整數項，也必須一起乘。例如，x／2＋3＝5 的兩邊同乘 2，得到 x＋6＝10。沒有分母，只表示分母可視為 1，不代表不必參與乘法。 四、分子視為整體：先保留括號，再使用分配律 分數線具有分組作用。(x＋1)／3 表示整個 x＋1 都除以 3；消去分母後得到 4(x＋1)，不能寫成 4x＋1。 分配律的基本形式為 a(b＋c)＝ab＋ac，以及 a(b－c)＝ab－ac。括號前的係數必須乘到括號內的每一項。例如，4(x＋1)＝4x＋4。 建議將「消去分母」與「展開括號」分成兩行處理。先確認各分母對應的倍數是否正確，再檢查分配律，較容易發現漏乘或符號錯誤。 五、負號處理：減去一整組，組內各項都受影響 負號可視為乘以－1，因此－(a＋b)＝－a－b，－(a－b)＝－a＋b。若括號前還有數字，應將符號與數字一起視為係數。 以前面的式子為例，－3(x－2)＝－3x＋6，因為負數乘負數得到正數。因此： 4(x＋1)－3(x－2)＝244x＋4－3x＋6＝24x＋10＝24x＝14。 驗算：(14＋1)／3－(14－2)／4＝5－3＝2，等號成立。這些式子都可由可逆的等量操作或恆等變形得到，因此彼此同解。合併同類項時，也要連同各項前面的正負號一起計算。 常考陷阱 只消分母，漏乘整數項：看到分數項係數改變、整數項卻完全不動，要檢查是否漏乘。判斷時應逐項核對，不能只看分母是否消失。 把公倍數直接當成每個分子的係數：兩邊同乘 12 時，分母為 3 的項應乘成 4 倍分子，分母為 4 的項應乘成 3 倍分子，必須先計算「公倍數÷原分母」。 分配律只乘第一項：把 4(x＋1) 寫成 4x＋1，是漏乘常數項。括號內有幾項，就應檢查幾次乘法。 負號只改第一項：把－3(x－2) 寫成－3x－6，是忽略負負得正；把－(x＋2) 寫成－x＋2，也是不正確的去括號。 同除時只除部分項：例如把 2x＋4＝10 寫成 x＋4＝5，只除了部分項，與原式不同解。 看到乘以負數就改變等號：方程式兩邊同乘非零負數，仍使用等號。不要把不等式乘除負數時改變方向的規則套進來。 以為必須使用最小公倍數才同解：最小公倍數是方便計算的選擇，其他非零公倍數同樣可用。不能只因選項係數比較大，就判定錯誤。 把一次代入成立當成完整證明：代入原式的解，可快速排除不成立的選項；但若選項化簡成 0＝0，雖然代入也成立，解集合卻不同。仍須確認選項對未知數的限制。 記憶口訣 左右同做，乘除非零；分母要消，每項都乘；分子成組，括號先留；負號進門，逐項變號。 作答依序檢查：找公倍數 → 每項同乘 → 保留括號 → 分配展開 → 合併同類項 → 代入驗算確認同解。