阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 掌握等高圖形的面積比等於底邊比，並能由面積比反推線段長度比。 矩形分割時，先確認各區是否共用相同的長或寬，再決定能否直接把面積比當成邊長比。 利用正方形中心到四邊的距離相等，比較以不同邊上線段為底的三角形面積。 將四邊形切成兩個三角形，把面積和轉化成底邊長的和；即使不知道正方形邊長，也能比較大小。 核心觀念 一、面積比化成邊長比：關鍵是共同的因數 矩形面積＝長×寬；三角形面積＝底×高÷2。比較面積時，若兩個圖形具有共同的高，就能約去相同因數，留下底邊長的比較。 等高矩形：面積比＝底邊比。例如兩矩形的高都是 h，底分別為 x、y，面積比就是 xh：yh＝x：y。 等寬矩形：面積比＝另一方向的邊長比。例如兩矩形的寬都是 w，長分別為 x、y，面積比就是 xw：yw＝x：y。 等高三角形：面積比＝底邊比，因為共同的高與共同的「÷2」都能約去。 這個關係可以雙向使用：已知底邊比，可以求面積比；已知面積比，也可以在確認等高後，反推底邊比。 二、矩形土地分割：先看配置，再用比例 矩形土地分成三塊，面積比為3：2：1，表示總面積共有 6 份，三區分別占全部的 1/2、1/3、1/6。這些是面積所占的比例，是否也是邊長所占的比例，仍要看分割方式。 分割配置可以使用的關係解題重點 三塊矩形平行排列，共用相同的高各區底邊比＝3：2：1面積比可直接轉成沿分割方向的邊長比。 一塊矩形占一側，另兩塊在另一側上下排列先合併上下兩塊，再比較左右兩側先找出等高的大矩形，再處理另一側內部的分割。 比較的兩塊矩形，長與寬都不同面積比＝兩邊長乘積的比不能只看其中一條邊，須利用其他已知條件。 以「一側占 3 份、另一側由 2 份與 1 份組成」的配置為例，左右兩側面積比為 3：（2＋1）＝1：1。兩側若等高，寬度就相等；另一側上下兩區若等寬，高度比才是 2：1。 「先切一刀、再切另一側」的分割，第一刀分出的兩側邊長比，取決於哪一塊單獨在一側： 單獨一側的區域第一刀兩側面積比（＝該方向邊長比）另一側內部再分（＝另一方向邊長比） 高麗菜（3 份）3：（2＋1）＝1：1白蘿蔔：菠菜＝2：1 白蘿蔔（2 份）2：（3＋1）＝1：2高麗菜：菠菜＝3：1 菠菜（1 份）1：（3＋2）＝1：5高麗菜：白蘿蔔＝3：2 注意：第一刀的比是沿第一刀垂直方向的邊長比；另一側內部的比是另一方向的邊長比，兩者不能混用。 因此，處理這類分割圖時，可依序採用：標面積份數→合併成大矩形→找共同邊長→換成線段比。若題目以 a、b 標示線段，還要確認它們各自代表整段或部分線段、位於哪一個方向，以及所求是 a/b 還是 b/a。若 a、b 位於不同方向，就不能只用面積比，須再搭配題目給的其他邊長條件。 三、正方形中心的性質：四個方向都能找到相同的高 設正方形邊長為 s，中心為 O，則 O 到四條邊的垂直距離都等於 s/2。令這個共同距離為 h，凡以 O 為頂點、以正方形某一邊上的線段為底的三角形，高都是 h。 所以，兩個三角形的底即使位於不同邊，仍可利用等高關係比較面積。例如底邊長分別為 x、y，兩個三角形的面積比就是 x：y。 此處的「高」是 O 到底邊所在直線的垂直距離，不是 O 到底邊端點的斜線長。判斷等高時，應找垂直距離，不要憑三角形外觀看起來高或矮。 四、四邊形的面積：切成三角形，再合併底邊 在正方形中，若 S、T 分別位於頂點 A 相鄰的兩條邊上，連接 OA，就能把四邊形 OSAT 分成三角形 OSA 與 OAT。這兩個三角形的底分別為 AS、AT，高都是中心到正方形邊的距離 h。 因此，四邊形 OSAT 的面積＝AS×h÷2＋AT×h÷2＝（AS＋AT）×h÷2。 若 E、F 位於正方形同一條邊上，則三角形 OEF 的面積為 EF×h÷2。兩個圖形相比時，共同的 h÷2 可以約去，得到： 三角形 OEF 面積：四邊形 OSAT 面積＝EF：（AS＋AT）。 EF 大於 AS＋AT，三角形面積較大。 EF 等於 AS＋AT，兩個圖形面積相等。 EF 小於 AS＋AT，四邊形面積較大。 例如 EF＝2 公分，AS＝AT＝1 公分，因為 2＝1＋1，所以兩個圖形面積相等。比較時不必求出 h，也不必知道正方形邊長。 常考陷阱 「正方形邊長未知，所以無法比較」：求出面積數值與比較面積大小是兩件事。只要兩邊有相同的高度因數，就能約去未知數，直接比較底邊或底邊總和。 「四邊形一定比三角形大」：邊數不能決定面積。應先分割四邊形，再用面積公式比較，不能憑圖形名稱或外觀判斷。 只比較 EF 與 AS，漏掉 AT：四邊形包含兩個三角形，必須比較 EF 與 AS＋AT；只算其中一塊會低估四邊形面積。 「底在不同邊，所以高度不同」：一般情況需要檢查，但正方形中心到四邊等距。因此，符合位置條件的三角形，即使底在不同邊上，仍然等高。 把斜線當作高：OA、OE、OF 等連線不一定垂直於所選底邊，不能直接拿來代入高度。高必須與底邊所在直線垂直。 「面積比為 3：2：1，所以任何邊長比都是 3：2：1」：只有在共用同一方向邊長時，面積比才能化成另一方向的邊長比。遇到上下、左右混合分割，應先合併區域。 把部分線段當成全長：若一段占 2 份、另一段占 1 份，兩段之比為 2：1，但前一段占合計長度的比例是 2：3。作答前先確認比較對象。 比值前後顛倒：算出 1：2 卻選了 2：1，或把 a/b 寫成 b/a。選項常同時列出互為倒數的答案，作答前再對一次 a、b 的位置。 依圖面比例估長度：示意圖不一定按比例繪製。線段比應由已知長度、面積份數與共同高度推得。 記憶口訣 等高比底，等寬比長；矩形先合，面積再換。 中心到邊一樣遠，四邊形切開加底邊；共同高度能約去，邊長未知也能比。