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學習重點 將購物、折扣、薪資、配分與金錢移轉的文字條件，轉成「未知數與已知數之間的等式」。 熟練加減消去法與代入法，並先觀察題目要的是個別數值、兩數總和，還是數量組合。 正確區分原價與折後價、誤收與實收、今年與明年，以及移轉前與移轉後的金額。 求得單價或原有金額後，能代入新條件求解，並以總數、總價、非負整數與原始條件檢查答案。 核心觀念 一、設未知數：名稱、時間與單位要明確 二元一次聯立方程式的基本形式為 ax＋by＝c。應用題中，x、y 可以代表兩種商品的單價、兩類試題的配分，或兩人原有的金額。同一個未知數在各式中必須維持相同意義，不能前一式代表單價，後一式卻代表購買數量。 兩個未知數通常需要兩個獨立條件。如果第二式只是第一式的倍數，並未增加新資訊，便不能據此唯一決定兩個未知數。列式後也要核對單位，例如「個數×元／個＝元」，薪資若以萬元計算，全程就應維持萬元。 二、兩組交易求單價，再用第三組條件求組合 購物題的基本關係是：第一種商品數量×第一種單價＋第二種商品數量×第二種單價＝總價。以兩次交易建立兩式，便可利用加減消去法求出單價。 加減消去時，先選定要消去的未知數，再將兩式適當倍乘，使該未知數的係數相同或互為相反數。注意等號兩邊及式中每一項都要一起乘；消去求得一個未知數後，再代回較簡單的式子求另一個。例如 4x＋6y＝180、5x＋3y＝135，可將後式乘以 2 得 10x＋6y＝270，與前式相減得 6x＝90，x＝15，代回得 y＝20。 求得兩種單價分別為 15 元、20 元後，接著要找「共 8 個、總價 140 元」的組合，可另設數量為 m、n，列出 m＋n＝8、15m＋20n＝140，得到 m＝n＝4。單價與數量應另設符號，避免混用。 也可用「全買低價品，再逐個替換」的差額法：先算 8 個低價品共 120 元，距離目標差 20 元；每換成一個高價品增加 5 元，因此需替換 4 個。這與聯立方程式是相同的數量關係，適合快速驗算。選擇題也可把各選項的組合直接代入總價檢查。 三、折扣條件：先把金額統一到原價基準 打九折表示支付原價的 90%，不是減少 90%。若三件商品折後共付 90 元，則這三件的原價合計為 90÷0.9＝100 元。 設兩種商品單價為 x、y，若一組原價條件為 x＋y＝65，另一組為 0.9（2x＋y）＝90，應先將後式整理為 2x＋y＝100。兩式相減即可得到多增加一件商品的原價 x＝35，另一種商品則為 30 元。 判斷重點是哪一筆交易符合促銷條件，以及折扣涵蓋哪些商品。只買兩件不符合「任選三件」的門檻，仍以原價計；三件才打折。不能將未達件數門檻的交易也自行打折，也不能直接拿折後總價與另一組原價相減求單價（90－65＝25 是錯誤做法）。 四、總量與倍數：先將多人問題縮成兩個量 遇到三人薪資，不必急著設三個未知數。若乙、丙合計是甲的 2 倍，可以先把「乙與丙的合計」視為一個整體。三人合計就是甲的 3 倍，因此甲今年年薪＝總年薪÷3。 若今年總年薪為 300 萬元，可先得甲今年為 100 萬元。再利用「明年三人年薪相同」設共同年薪為 t，則甲今年年薪＋甲的增加額＝t，丙今年年薪＋丙的增加額＝t。由甲得共同年薪為 110 萬元，可推得丙今年為 80 萬元，再由今年總額求得乙今年為 300－100－80＝120 萬元。 比較今年與明年即可判斷調整方向：甲增加、丙增加，不代表乙也增加；此時乙反而減少 10 萬元。三人明年領得一樣多，也不代表明年總額維持不變，新總額應以 3t 計算，此例為 330 萬元。今年的大小順序為丙（80）＜甲（100）＜乙（120），判斷排序類選項時要逐一代數字比較。 五、配分題：目標若是總和，就先找總和 設選擇題每題 x 分、填充題每格 y 分。兩類各有 20 個計分單位且滿分 100 分，可列出 20x＋20y＝100，整理得 x＋y＝5。 若某位考生兩類各答對 15 個計分單位，其得分為 15x＋15y＝15（x＋y），直接得到 75 分。題目只問特定組合時，不一定需要先解出每一種配分。 「甲比乙多 3 分」應列為「甲分數－乙分數＝3」。若兩人的答對數分別為（15，15）與（18，12），則差額條件為（15x＋15y）－（18x＋12y）＝3，即－3x＋3y＝3，得到 y－x＝1，搭配 x＋y＝5 可得 x＝2、y＝3。驗算：乙得 36＋36＝72 分，比甲少 3 分，吻合。答錯不倒扣，表示只計算答對所得分數，不另扣錯題分數。 六、金錢移轉：分數乘上給錢者原有的金額 設甲、乙原有金額分別為 x、y。「乙把自己一半的錢給甲」後，甲有 x＋y／2；「甲把自己三分之二的錢給乙」後，乙有 y＋2x／3。 兩個「如果」通常是從同一個原始狀態分別假設，不能將前一情境移轉後的金額，直接帶入後一情境。若兩種情境中收錢者都變成 500 元，就列為 x＋y／2＝500、y＋2x／3＝500。 消去分母可得 2x＋y＝1000、2x＋3y＝1500；相減得 2y＝500，所以乙原有 250 元，甲原有 375 元。驗算時要分別回到兩個假設情境：375＋125＝500、250＋250＝500，皆成立；不能把兩次移轉連續執行。注意選項常同時列出甲、乙兩人的金額，要看清楚題目問的是誰。 七、算錯退費：先找實際應付，再觀察加總與差額 商家多收後退費，關係是正確應付金額＝原先收取金額－退還金額。若原收 330 元、退還 30 元，正確總價就是 300 元；原收的 330 元對應的是「算錯的那一組數量」。 設兩種商品單價為 x、y，正確交易為 4x＋2y＝300，誤算交易為 2x＋4y＝330。若目標只是一份甲商品加一份乙商品的價格，可將兩式相加，得到 6x＋6y＝630，直接求得 x＋y＝105。 兩式相減則能看出價差：2y－2x＝30，所以 y－x＝15，進一步可得 x＝45、y＝60，代回兩式驗算皆成立。交換的份數決定價差倍數，退費 30 元並不等於兩種商品的單價差。申論作答時應寫出設未知數、列式、求解與驗算，最後以完整句子回答「應付 105 元」。 常考陷阱 常見錯誤寫法或判斷正確判斷關鍵 用折後價乘以 0.9 還原原價折後價＝原價×0.9，因此原價要除以 0.9。 折後總價直接與原價總價相減求單價先把折後價還原成原價，兩式基準一致才能相減。 組合只符合總個數，就認定正確必須同時符合總個數與總價，數量還須為非負整數。 三人調成相同年薪，表示每人都加薪共同年薪可能低於某人原有年薪，須逐人比較。 調成相同年薪後總額不變新總額＝共同年薪×人數，須重新計算。 把「甲比乙多」列成乙減甲為正數較多者減較少者，才等於正的差額。 把「乙的一半」寫成甲原有金額的一半分數的基準是給錢者持有的金額。 兩個假設情境接續計算先辨認是否為獨立假設；獨立假設各自從原有金額出發。 算出甲的金額卻選成乙的答案作答前回頭確認題目所問對象。 退費後的正確總價比原收金額更高多收退還應用減法，並分清誤算與正確交易的數量。 一定要解出所有未知數才作答先看目標式，能用加總、相減或倍數直接求得就直接求。 記憶口訣 先設量，再列式；求組合，看總數；折後還原用除法，退費還原用減法；移轉先看誰給錢，兩個如果分開算；只問總和先相加，解完代回再作答。