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學習重點 掌握肩形圖「累積到某個界點」的意義，分清楚累積比例與單一區間比例。 熟練「區間用相減、以上用補數、分散區間分別算再相加」，並正確處理月份與分數的端點。 以「人數＝總人數×相對次數」連結圖形與文字條件，推算全體人數及各區間人數。 能把「多百分之幾」與「人數比」轉成方程式，處理圖形部分汙損的情境。 區分圖表是否保留個別身分、個別數值及次數資訊；直接讀不到，不代表不能經由計數求得。 核心觀念 一、肩形圖上的高度代表累積比例 累積相對次數折線圖又稱肩形圖（Ogive），橫軸表示月份、分數或其他資料界點，縱軸表示累積相對次數。判讀前，先確認圖表累積的方向與各界點的定義。本單元以由小到大累積的情形為主，因此折線應隨橫軸增加而上升或持平，最後累積至100%。 某點的高度是「截至該位置的累積比例」，不是該區間本身的比例。例如，以月份累積的圖上，10月的高度若約為94%，表示1月至10月的觀光人數合計約占全年94%，不能解讀成10月單月占全年94%；同時也可推知11月與12月合計約占6%。 設C(m)為1月至m月的累積比例，並令C(0)＝0，則m月單月比例為C(m)－C(m－1)。兩點間上升得越多，表示該段增加的比例越大；比較各月人數時，要比較相鄰月份的高度差（折線段的陡峭程度），不能只比較累積點的高低。 二、區間比例：先確定包含哪些資料，再做差 欲求內容計算方式判讀關鍵 1月至7月合計C(7)從起點累積，直接讀高度。 1月至10月合計C(10)直接讀10月的高度。 7月至9月合計C(9)－C(6)要保留7月，必須扣除截至6月的累積量。 12月單月100%－C(11)全年扣除前11個月。 1月與12月合計C(1)＋〔100%－C(11)〕兩段分別求出，再相加。 月份是離散的類別，「7月到9月」包含7、8、9月，不能直接用9月累積值減7月累積值，否則只剩8、9月。 敘述中的比較詞也要精確轉換：「超過一半」是大於50%；「不到一半」是小於50%；「不到八分之一」是小於12.5%。恰好等於界線時，不符合「超過」或「不到」。圖形若只能估讀，應依刻度與標示判斷，不宜自行補上過度精確的小數。逐一驗證每個選項後，再依題目問的是「正確」或「錯誤」作答。 三、成績的累積比例與「以上」的補數 成績分組必須先看清楚端點如何歸組。若以「未滿某分數」累積，可令F(60)表示未滿60分的比例，F(70)表示未滿70分的比例。此時，60分以上、未滿70分的比例就是F(70)－F(60)。 70分以上的相對次數＝100%－未滿70分的累積相對次數。這個補數包含70分本身，也包含70～80、80～90、90分以上各組。不能改扣未滿60分的比例，也不能把70分以上誤當成只有70～80分。 若圖表採用其他端點定義，應依圖上的標示調整。尤其「未滿」、「以下」、「以上」的包含範圍不同，不可只憑看到數字就套公式。 四、以已知人數換算總人數 設全體人數為N，某區間人數為n，相對次數為p，基本關係為n＝N×p，因此N＝n÷p。代入時，百分率須化成小數或分數，例如20%＝0.2。 已知90分以上有20人，若從圖上讀得未滿90分的累積比例為q，則90分以上占1－q，因此N＝20÷（1－q）。已知不及格有80人，若以未滿60分為不及格，且其比例為r，則N＝80÷r。兩種算法得到的總人數應相同，可用來檢查讀圖或運算是否有誤。 若部分圖形遭汙損，應先保留仍可讀取的累積比例，再把已知人數及區間關係列成方程式。只有人數條件而缺少必要的圖上比例時，不可自行假設總人數或補畫累積值。 五、把「多百分之幾」與人數比轉成方程式 「60～70分的人數比70～80分的人數多20%」，是以70～80分的人數為比較基準。設70～80分有x人，則60～70分有1.2x人，兩區間人數比為6：5。 這不表示兩區間占全體的百分率相差20個百分點。若70～80分占全體10%，則60～70分占全體12%，兩者只相差2個百分點。 「80～90分與50～60分的人數比為3：2」，可設兩區間分別有3k、2k人，也可將圖上的相對次數差值列成比例。因為各區間使用同一個總人數，區間人數比等於區間相對次數比。 六、汙損圖形的解題流程 列出看得到的累積值：把仍清楚的界點與累積相對次數寫下來，標明是「未滿幾分」的比例。 求總人數：找出一個「人數已知、比例也能從圖讀出」的區間（如不及格、90分以上），用N＝n÷p求全體人數，另一個條件可用來驗算。 補出汙損的區間：把各區間人數設成未知數（如70～80分為x人、60～70分為1.2x人；80～90分為3k人、50～60分為2k人），配合「各區間人數總和＝N」或「兩累積值之差＝該段人數÷N」聯立求解。 回答所問：求70分以上時，可用「70分以上人數÷N」或「100%－未滿70分的累積比例」，兩法結果應一致。 申論作答應寫出讀到的比例、所設未知數、所列算式及結果，並註明單位（人、%），不能只寫答案。 七、圖表保留了哪些資訊？ 判斷資訊保留時，要分別檢查「誰的資料」、「數值是多少」與「有多少人符合條件」三件事。 呈現方式可取得的資訊判讀限制 保留座號與蛀牙數的個別資料圖可查某座號的蛀牙數，也可逐筆計數求各顆數的人數。次數未直接標示，需要自行統計。 依蛀牙顆數整理的次數圖可讀取各蛀牙顆數對應的人數。未保留身分對應，不能查指定座號的蛀牙數。 分組後的累積相對次數圖可讀累積比例、求區間比例，配合總人數換算人數。不能還原個別身分或組內每筆精確數值。 以個別資料圖呈現學生蛀牙數時，即使沒有另外畫出「蛀牙2顆的人數」，仍可找出數值為2的所有學生並加以計數。因此，能查個別資料的圖，也能用來求次數；整理成次數後，卻不能還原個別身分。 判斷「某同學說法」時，要拆成兩個子句分別檢查：「兩圖都可以」須兩張圖都能讀到；「只有A圖可以，B圖不能」須同時成立A可以、B不能，只要B其實也能求得，整句就錯。 常考陷阱 把累積高度當成單月或單組比例：先問該點代表「截至哪裡」，單一區間通常要用兩個累積值相減。 月份相減時少算起始月：求7月至9月應扣截至6月的累積值，不能扣截至7月的累積值。 把不連續區間算成整段：1月與12月須分別求出後相加，不能將兩點高度直接相減。 題目問「何者錯誤」卻選了錯誤的敘述以外的選項：每個選項都先判斷對錯並標記，最後再對照題目所問。 「以上」扣錯累積值：70分以上是100%減「未滿70分」的累積比例，不是減未滿60分，也不是只算70～80分。 把「多20%」當成「多20人」或「多20個百分點」：先找比較基準，再寫成1.2倍關係。 把累積比例拿來代替區間人數比：3：2描述的是兩個分數區間，應比較各區間的累積差值或區間人數。 認為次數圖看得到數值就知道是誰：次數圖上出現「8顆」，只能知道有幾人蛀8顆；能否判定某座號，要看身分對應是否保留。 認為沒有直接標次數就不能求次數：保留完整個別資料時，可透過逐筆計數取得人數。「只有某圖可以」必須檢查另一圖是否也能算出。 記憶口訣 累積看高度，區間做相減；以上取補數，跨段分開算。人數除比例，總數就出現；多兩成乘一點二，比例設3k、2k。身分看對應，次數可重算。