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學習重點 表面積只計算外露面：兩立體接合後，接合處的面不再外露；切開並分離後，原本藏在內部的面才成為新增表面。 算式要對應學童的思考單位：逐塊計算、逐個切面計算、總量相減都可能得到相同答案，但代表不同的解題策略。 複合立體可用面片移補簡化：把方向相同、面積可互補的外露面片重新拼合，能將零散面積轉換成完整長方形。 看不見不等於不計算：背面、底面仍可能是外露面；教學應結合實物、著色與圖像，協助學生辨識外露面及接合面。 核心觀念 一、先分清楚「外露面」與「新增面」 立體的表面積，是構成立體邊界的各面面積總和。判斷時，要想像沿著立體外部逐面檢查，不能只計算圖中正面看得到的部分。底面即使朝下、背面即使受到視角遮蔽，仍須計入；兩個立體彼此貼合的接合面，則位於複合立體內部，不計入表面積。 新增表面積＝變化後的總表面積－變化前的總表面積。也可以直接找出哪些面是切開並分離後才外露的，再加總其面積。原本已在外側的面，只是被分割成較小面片，總面積不變，不屬於新增面。 二、切割正方體：算式必須呈現「每塊增加，再算全部」 邊長為2的正方體，沿三個方向各對半切開並分離，可得到8個邊長為1的小正方體。每個小正方體原本都位於大正方體的一個角落，具有3個原本就在外側的面，以及3個切開後才外露的面。因此，每塊新增的表面積為1 × 1 × 3，再乘以8塊，得到1 × 1 × 3 × 8＝24。 解讀學童策略時，應逐一說明各因數的意義：1 × 1是每個新增小正方形的面積，3是每塊小正方體新增的面數，8是小正方體的個數。這才完整呈現「先算每個小正方體增加多少，再算全部增加多少」的思路。 解題策略對應算式思考單位 逐塊計算新增面1 × 1 × 3 × 8每塊新增3個小正方形，共8塊 逐個切割面計算2 × 2 × 3 × 23個切割位置，每處切開後兩側各產生一片2 × 2的新表面 切割前後總量相減1 × 1 × 6 × 8－2 × 2 × 6全部小正方體表面積減去原正方體表面積 （非增加量算式）2 × 2 × 6原正方體的表面積，數值碰巧與增加量相同 前三種算式都可得到24，但解題表徵不同。若題意要求辨識學童策略，不能只驗算數值，還要檢查運算順序與計數單位是否符合學童說法。學童說「先算每個小正方體增加的表面積」，算式中必須先出現「每塊增加量」（1 × 1 × 3），最後才乘以塊數8。 三、複合長方體：側面與水平面分開整理 對於甲放在乙上方、甲的底面完全落在乙頂面內的堆疊形體，可將外露面分成側面與水平面。長方體的四個側面可展開成長方形，因此側面積＝底面周長 × 高。 甲的底面長、寬為10與5，高為6，其側面積為（10＋5＋10＋5）× 6＝180；乙的底面長、寬為15與8，高為10，其側面積為（15＋8＋15＋8）× 10＝460。這兩項都只處理側面，尚未包含頂面與底面。 剩下的水平外露面包括：甲的頂面、乙頂面未被甲覆蓋的部分，以及乙的下底面。其中，乙的下底面面積為15 × 8；另一個15 × 8，則是由甲的頂面與乙頂面未被甲覆蓋的部分合併而成。 四、等積拼補：將零散外露面補成完整底面 甲是長方體，頂面與底面全等，所以甲頂面面積等於甲、乙接合面的面積，都是10 × 5。乙頂面未被覆蓋的部分，其面積為15 × 8－10 × 5。兩者合計為： 10 × 5＋（15 × 8－10 × 5）＝15 × 8。 可想像把甲的頂面作成一張面片，向下平移至乙頂面被遮住的位置，恰好補成完整的15 × 8長方形。因此，水平外露面的總面積為15 × 8 × 2＝240，複合立體表面積為180＋460＋240＝880平方公分。 這個「另一個長方形」是外露面片等積重組後的結果，原來的立體上並不存在一整片可直接看見的15 × 8上表面。移補過程只改變面片的位置，不改變其面積。換個角度說，從正上方往下看，所有朝上的外露面恰好覆蓋乙的整個頂面，所以朝上外露面的總面積等於乙的底面積。 五、學生的視覺困難與教學協助 學生容易把甲頂面與乙頂面剩餘部分視為互不相關的面，因為它們位於不同高度，圖上也沒有完整長方形的輪廓；加上立體圖的遮蔽與透視效果，更難察覺兩者能拼成完整的乙頂面。另一項困難是混淆「圖上看不見」與「位於內部」，因而漏算背面或底面，或誤把接合面算入。 實物操作：用兩個長方體模型堆疊，讓學生旋轉、俯視並拆開觀察，辨認外露面與接合面，再恢復堆疊狀態。 面片著色：將甲頂面與乙頂面未被覆蓋的部分標為同一色，凸顯需要合併的水平外露面。 剪貼移補：用紙片描出甲頂面，移到乙頂面的接合位置，實際驗證它能補滿被覆蓋的區域。 連結圖像與算式：畫出俯視圖及移補前後的平面圖，讓學生說明10 × 5為何可以補入，以及最後為何得到15 × 8。 申論作答宜同時交代「另一個15 × 8如何得來」「學生難在哪裡」及「教學如何處理該困難」。只寫多看圖、多練習，無法具體說明如何建立等積拼補的理解。 常考陷阱 答案相同，就認為策略相同：切面法（2 × 2 × 3 × 2）與總量相減法（1 × 1 × 6 × 8－2 × 2 × 6）雖然數值正確，仍不對應「逐塊算新增面」的說法。 每塊有6面，所以新增6面：6面是小正方體的全部表面；本例每塊只有3面是新增面，其餘3面原本已外露。 把2 × 2 × 6直接視為增加量：它表示原正方體的表面積。即使數值碰巧等於增加量，也不能據此認定符合學童策略。 將兩個長方體表面積直接相加：會把接合處的兩片面都算進去。若採總量相加法，須減去接合面積的2倍（10 × 5 × 2）。 把乙的完整頂面與甲頂面一起算入：乙頂面被甲覆蓋的部分不是外露面；應算「乙頂面剩餘部分＋甲頂面」，再利用移補合為15 × 8。 誤以為另一個15 × 8是乙的上底面原封不動：乙的上底面有一部分被甲蓋住，完整的15 × 8是甲頂面移補後才拼成的。 認為不同高度的面不能相加：求表面積是加總面積，不要求各面原本位於同一平面；面片移補正是協助辨認等積關係的方法。 將拼補結論套用到所有堆疊形體：須先確認甲底面完全落在乙頂面內，且甲頂面與接合面等積；若有懸空突出，必須另行檢查外露面。 記憶口訣 切開看新增，接合扣兩面；側面周長乘高，頂面移補看等積；算式看單位，不只看答案。