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學習重點 將複合圖形拆成正方形、矩形、三角形，選擇「分割相加」或「整體扣除」來表示面積。 先分清楚 a、b、c 代表哪些線段，求出真正的邊長、底與高，再列代數式。 熟悉「兩個大小相同的正方形」常見的拼圖配置：外框邊長 a＋b，內含直角三角形與斜邊 c 構成的正方形。 掌握矩形的平行、垂直與對邊等長性質，把圖上的位置關係轉成可用的等式。 利用矩形對角線形成的相似三角形求出底與高的比例，再以「底 × 高 ÷ 2」證明兩三角形等積。 核心觀念 一、先辨認圖形，再決定面積策略 複合面積的關鍵，是把指定區域轉成幾個基本圖形。讀圖時先標出外框、指定區域、已知線段與直角記號，再判斷哪些部分適合相加、哪些部分適合扣除。分割後必須完整覆蓋指定區域，而且各部分不能重複計算。 基本圖形面積公式使用前的確認 正方形邊長 × 邊長已知量是否為完整邊長 矩形長 × 寬兩個長度是否互相垂直 直角三角形兩股相乘 ÷ 2兩股是否夾直角 一般三角形底 × 高 ÷ 2高是否垂直於所選的底 分割相加法：指定區域可以切成數個容易計算的圖形時，分別計算後相加。整體扣除法：指定區域的外框簡單、未指定部分容易計算時，用外框面積減去未指定部分。兩種方法只要分割正確，結果必須相同，這也是檢查答案的好方法。 二、正方形與三角形的代數面積 以 a、b、c 表示面積時，應先寫出線段關係，再代入面積公式。例如，只有在圖上確認 a、b 是同一直線上相鄰、合起來恰為一整條邊的兩段時，才能寫出邊長＝a＋b；只有確認 c 是所選底的垂直高時，才能使用「底 × c ÷ 2」。斜邊或任意連線不能直接當高。 設正方形邊長為 s，從中扣除底為 u、高為 v 的三角形，剩餘面積為 s²－uv／2。若有數個互不重疊的扣除區域，逐一扣除即可；若扣除區域彼此重疊，不能直接把各自面積全部減掉，否則重疊部分會被多扣一次。 三、兩個大小相同正方形的常見配置 國小數學能力測驗中，「兩個大小相同的正方形」並用 a、b、c 標示，最常見的是畢氏定理的拼圖證明。典型配置如下（作答時仍須以實際圖示核對字母位置）： 圖形內部分割面積表示 外框正方形每邊被分成 a、b 兩段(a＋b)² 四個直角三角形＋中間斜放正方形三角形兩股為 a、b，斜邊為 c；中間正方形邊長為 cc²＋4 × (a × b ÷ 2)＝c²＋2ab 兩個小正方形＋兩個矩形邊長 a、b 的正方形，與兩個 a × b 的矩形a²＋b²＋2ab 若題目要求「用 a、b、c 表示」某圖面積，代表答案中應出現 c，通常以分割相加寫成「中間正方形＋四個三角形」，即 c²＋2ab（亦可寫成 c²＋4 × ab／2）；也可同時說明它等於外框 (a＋b)²。兩個正方形大小相同，所以兩種分割的面積相等：c²＋2ab＝a²＋b²＋2ab，消去 2ab 即得 a²＋b²＝c²，這通常是後續小題的方向。 注意：兩個正方形外框相同，只保證總面積相等；內部各區域是否等積，必須由分割方式與線段關係說明，不能只憑外框一樣大就推論。 四、矩形中的垂線與小矩形 在矩形 ABCD 中，I 位於對角線 BD 上。由 I 作長邊的垂線交 AD 於 E、交 BC 於 F，作寬邊的垂線交 AB 於 G、交 CD 於 H。因此 EF 平行 AB，GH 平行 AD，矩形被分成四個小矩形，其中 DEIH 是矩形（四個角都是直角）。 由矩形對邊等長得 DE＝HI、EI＝DH；又 DE⊥EI、DH⊥HI，所以兩個三角形都是直角三角形： △DEI 面積＝DE × EI ÷ 2 △DHI 面積＝DH × HI ÷ 2＝EI × DE ÷ 2 兩者相等。換句話說，DI 是小矩形 DEIH 的對角線，把小矩形分成兩個等積（全等）三角形。採用此證法時，須寫出 DEIH 為矩形的理由，不能只寫「看起來各占一半」。 五、利用相似三角形建立比例（等積證明） 題目重點在於用矩形對角線形成的相似三角形，推得底與高的比例。書寫步驟如下： 找相似：EI 平行 AB，且 E 在 DA 上、I 在 DB 上，∠D 共用、∠DEI＝∠DAB＝90°，故 △DEI ∼ △DAB（AA 相似），對應為 D↔D、E↔A、I↔B。同理，HI 平行 CB，可得 △DHI ∼ △DCB。 列比例：令相似比為 t（t＝DI／DB），則 DE＝t × DA，EI＝t × AB。 求面積：△DEI＝DE × EI ÷ 2＝t² × DA × AB ÷ 2。 另一個三角形：由 △DHI ∼ △DCB 且相似比同為 DI／DB＝t，得 DH＝t × DC＝t × AB，HI＝t × CB＝t × DA，所以 △DHI＝t² × AB × DA ÷ 2。 結論：兩者相等，故 △DEI 面積＝△DHI 面積。 另一種寫法：由 △DEI ∼ △DAB 得 DE：EI＝DA：AB；由 △DHI ∼ △DCB 得 HI：DH＝CB：DC＝DA：AB。兩個直角三角形的兩股比相同，且有共同斜邊 DI，因此兩三角形全等，面積相等。 延伸常見結論：同理 △BGI＝△BFI，又 △ABD＝△CDB，相減可得矩形 AGIE 與矩形 IFCH 面積相等，這是此類圖形的經典延伸題。 提醒：相似圖形的長度比為 t，面積比為 t²。相似本身只保證形狀相同，不能直接推出面積相同，仍須交代比例與底高乘積。 常考陷阱 「兩個正方形一樣大，所以內部指定區域也一樣大」：外框等積不足以推出內部區域等積，必須補上分割或等積轉換的依據。 「要用 a、b、c 表示，卻只寫 (a＋b)²」：題目指定字母時，應依圖的分割寫出含 c 的式子，如 c²＋2ab，並可說明它等於 (a＋b)²。 「四個三角形面積寫成 4ab」：每個直角三角形是 ab÷2，四個合計 2ab，不要忘記除以 2。 「(a＋b)²＝a²＋b²」：正確展開為 a²＋2ab＋b²。 「三角形任選兩條邊相乘再除以 2」：只有互相垂直的底與高才能直接代入，斜邊 c 不能當成高。 「看到 a、b 就把邊長寫成 a＋b」：必須先確認兩段共線、相鄰，且確實合成同一條完整邊。 「有共同邊 DI，所以兩三角形等積」：共用一邊不夠，還需證明對應高相等或兩股對應相等。 「I 在 BD 上，所以 I 是中點」：對角線上任意點不一定是中點，不可擅自令 DI＝IB 或把長、寬各除以 2。 「兩三角形相似，所以面積相等」：相似只給比例；須列出相似依據、對應邊比例，再代入面積公式。 「相似的對應頂點寫錯」：△DEI 對應 △DAB 時，E 對 A（直角）、I 對 B，順序錯會導致比例列錯。 記憶口訣 複合面積：先看外框再切塊，能加能減不重算；底高垂直才代入，三角記得除以二。 兩方拼圖：外框 a 加 b 平方，中間 c 方加 2ab；兩圖一比消 2ab，a 方加 b 方等 c 方。 等積證明：先找平行與直角，相似寫出比例 t；長度乘 t 面積 t 方，對角一切兩半齊。