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學習重點 熟記點到兩坐標軸的距離：到 x 軸看縱坐標的絕對值，到 y 軸看橫坐標的絕對值。 利用象限判定坐標正負號，先由距離求出數值大小，再依象限補上正負號。 掌握坐標軸上點的特性：在 x 軸上，縱坐標為零；在 y 軸上，橫坐標為零。 利用水平線、鉛直線的坐標特徵，配合三角形面積求邊長，再依圖形位置確定未知頂點。 核心觀念 一、點到坐標軸的距離：看的是垂直距離 設 P 點坐標為（x，y）。點到一條直線的距離，是該點到直線的垂直線段長。因此，P 到 x 軸的距離為|y|，到 y 軸的距離為|x|。距離一定大於或等於零，不能因為點在某一象限，就把距離寫成負數。（題目中「坐標」與「座標」兩種寫法意義相同。） 比較項目到 x 軸到 y 軸 垂足坐標（x，0）（0，y） 移動方向上下移動左右移動 距離公式|y||x| 距離為零的意義點在 x 軸上點在 y 軸上 最容易混淆的是「到 x 軸」與「x 坐標」。x 軸是水平線，點到它的距離要看上下方向，所以使用 y；y 軸是鉛直線，點到它的距離要看左右方向，所以使用 x。 二、距離決定大小，象限決定正負 距離只能告訴我們坐標的絕對值，不能單獨決定正負。例如到 y 軸的距離為 d，代表 |x|＝d；當 d＞0 時，可能是 x＝d，也可能是 x＝－d，必須結合象限或位置條件判斷。 所在位置x 的正負y 的正負坐標符號 第一象限正正（＋，＋） 第二象限負正（－，＋） 第三象限負負（－，－） 第四象限正負（＋，－） 若點到 x 軸、y 軸的距離分別為 m、n，且 m、n 均大於零，則坐標的數值排列應為（±n，±m）。第二象限取（－n，m），第四象限取（n，－m）。作答時可依序完成「寫出絕對值、判斷正負、組成坐標」，避免同時處理而混亂。 例如某點在第四象限，到 x 軸距離 6、到 y 軸距離 1：先得 |y|＝6、|x|＝1，第四象限為（＋，－），所以坐標為（1，－6），而不是（6，－1）。 遇到倍數條件，先把文字翻成距離關係。例如「到 y 軸的距離為到 x 軸距離的 k 倍」，應寫成|x|＝k|y|。若到 x 軸的距離為 m，就先得到 |y|＝m、|x|＝km，再依象限決定符號。不要直接寫成 x＝ky，因為兩個坐標未必同號。例如到 x 軸距離 2、到 y 軸距離是其 4 倍、在第二象限：|y|＝2、|x|＝8，坐標為（－8，2）。 寫出答案後建議代回驗算：檢查象限符號，再分別檢查 |y| 是否等於到 x 軸距離、|x| 是否等於到 y 軸距離。 三、坐標軸上的點：先令正確的坐標為零 點在 x 軸上，表示 y＝0；點在 y 軸上，表示 x＝0。坐標軸上的點不屬於任何象限；原點（0，0）同時位於兩軸上，到兩軸的距離都為零。 若坐標含有參數，可採用三步驟： 根據所在坐標軸，把對應的坐標式設為零。 解出參數後，代回另一個坐標式，求出完整坐標。 依題目指定的坐標軸，取相應坐標的絕對值作為距離。 例如 P（7－t，3t＋6）在 x 軸上，應由 3t＋6＝0 求得 t＝－2，再得到 P（9，0）。此時到 y 軸的距離是 |9|＝9，到 x 軸的距離則是 0。參數的值與題目所求的距離是不同量，不能解出參數便停止。代回時要注意「減去負數變加法」：7－（－2）＝9，不是 5。 四、水平邊、鉛直邊與三角形面積 坐標平面中的線段方向，可以直接轉換為坐標關係： 線段條件方向端點坐標關係線段長 垂直 y 軸，或平行 x 軸水平兩點的 y 相同兩點 x 坐標差的絕對值 垂直 x 軸，或平行 y 軸鉛直兩點的 x 相同兩點 y 坐標差的絕對值 三角形面積為底×高÷2，其中高必須是相對頂點到底邊所在直線的垂直距離。若 BC 為水平邊，B、C 的縱坐標皆為 c，A 的縱坐標為 a，則以 BC 為底的高為 |a－c|，所以 BC＝2×面積÷|a－c|。 例如水平底邊位於 y＝－2，另一頂點的縱坐標為 3，則高為 |3－（－2）|＝5。即使垂足落在底邊的延長線上，這個高度仍然成立，不必改用斜邊長。注意高是到底邊所在直線的距離，不是到 x 軸的距離；只有底邊恰好在 x 軸上時兩者才相同。 設 C（u，c），算得 BC 長為 L，則 B 的坐標可能是（u－L，c）或（u＋L，c）。B 在 C 左方時取減號，在右方時取加號；必須根據圖示或其他位置條件選定。若缺少左右位置條件，僅憑水平邊與面積，通常無法唯一確定 B 點。B 的縱坐標直接沿用 C 的縱坐標 c。 完整流程：①由「垂直 y 軸」得知底邊水平、兩端點同 y；②高＝頂點與底邊的縱坐標差的絕對值；③底＝2×面積÷高；④由已知端點的橫坐標加或減底邊長，得到未知端點的橫坐標；⑤用 |x 坐標差| 驗算底邊長。 常考陷阱 把兩個距離直接照順序填入坐標：題目先說到 x 軸的距離，再說到 y 軸的距離，不代表它們就是 x、y。判斷關鍵是「到 x 軸看 y，到 y 軸看 x」。 象限正負正確，數值卻對調：只檢查第二象限的「負、正」或第四象限的「正、負」仍不夠，還要分別驗算 |y|、|x| 是否符合兩軸距離。 倍數關係寫反：「到 y 軸是到 x 軸的數倍」表示 |x| 較大，應先寫等式，再計算數值，不能憑文字出現順序猜測。 倍數只套用一半：選項中常出現把已知距離當成 |x|、或把倍數除掉而非乘上的數值，代回檢查「到 y 軸距離 ÷ 到 x 軸距離」是否等於題目倍數即可排除。 在 x 軸上就令 x＝0：x 軸上的點可以左右移動，為零的是 y。若令錯坐標為零，參數與後續距離都會錯。 解出參數就當答案，或代回時算錯符號：參數是負數時，代入「常數－參數」要變成加法。 忘記取絕對值：橫坐標為負，表示點在 y 軸左側；縱坐標為負，表示點在 x 軸下方。這些負號描述方向，不代表距離為負。 看見「垂直 y 軸」就當成鉛直線：y 軸本身是鉛直線，與它垂直的線段應為水平，因此兩端點是 y 相同。 把頂點的縱坐標直接當高：底邊不在 x 軸上時，高要用頂點與底邊的縱坐標差，而非頂點到 x 軸的距離。 跨越 x 軸時把高度算成數值相減：一點在上、一點在下，高度應為兩個縱坐標差的絕對值；減去負數時，要轉成加法。 面積反求底邊漏乘 2：由面積＝底×高÷2，應得底＝2×面積÷高。算出的底邊長還要轉成坐標差，不能直接當作未知頂點的橫坐標（例如底長 L 就寫成 x＝－L）。 求出邊長就只保留一個位置：水平線段向左、向右都可能有相同長度，應利用圖示或位置條件決定加減。 記憶口訣 到 x 看 y，到 y 看 x；距離取絕對，象限定正負。 軸上另一個為零；水平同 y，鉛直同 x。 面積乘二再除高，求出邊長看左右。