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學習重點 把百分率轉成倍率：增加 r，乘以 1＋r；減少 r，乘以 1－r。百分率須先化為小數或分數。 連續增減的基準會改變，應將各階段倍率連乘，不能直接加減百分率。 長方體體積是長、寬、高的乘積，三邊改變後的體積倍率，等於三個邊長倍率的乘積。 起始值與最終值分別相同時，可令兩條變化路徑的累積倍率相等，再求未知成長率。 分期償還須考慮付款時間，將所有金額換算到同一時點，才能建立複利等值方程式。 核心觀念 一、百分率先換成倍率，再決定運算 百分率描述的是「相對於基準量的變化比例」。若原量為 a，增加率為 r，增加後為 a＋ar＝a（1＋r）；減少率為 r，減少後為 a－ar＝a（1－r）。因此，解題時先把敘述翻成倍率，通常比逐次計算增加量、減少量更清楚。 敘述對應倍率判讀重點 增加 20%1.2新量是原量的 120% 減少 10%0.9新量是原量的 90% 成為原來的 180%1.8成長率為 80% 增加 180%2.8原有的 100% 仍須計入 倍率與成長率差了 1。若算出最終值是基準量的 k 倍，則成長率為 k－1，再換成百分率。不可把倍率直接當成成長率。 二、連續百分率增減：每一步都以當時的量為基準 設起始量為 a，先增加 r，再減少 s，最後的量為 a（1＋r）（1－s）。第二次減少的基準是增加後的量，因此不能寫成 a（1＋r－s）。整體變化率應由「累積倍率－1」求得。 例如以 100 為基準，先增加 10% 得到 110，接著減少的是 110 的 10%，即 11，所以最後為 99。也可直接計算：100×1.1×0.9＝99，整體減少 1%。 若先增加 r，再減少相同的 r，累積倍率為（1＋r）（1－r）＝1－r²。只要 0＜r＜1，結果就小於原量。此處 r 要用小數表示，例如 r＝0.1，則 r²＝0.01，代表整體減少 1%，不是減少 10%。 若兩次增減率固定，且中間沒有加入或取走額外數量，交換增減順序不影響最後結果，因為倍率相乘可交換順序；但兩次變化的實際數量可能不同。例如先減 10% 再增 10%：100→90→99，結果同樣是 99。 三、連續成長率：用累積倍率連結起點與終點 若某量各期成長率依序為 r₁、r₂，則最終值＝起始值×（1＋r₁）×（1＋r₂）。每一期的成長，都建立在上一期已經成長的數值上，故不能把兩期成長率直接相加或相減。 比較兩家店時，若它們的起始營收相同，最終營收也相同，就可消去共同的起始營收，令兩家的累積倍率相等。設其中一家連續兩期都成長 50%，另一家先成長 25%，再成長 r，則： 1.5×1.5＝1.25×（1＋r） 1＋r＝2.25÷1.25＝1.8 r＝0.8＝80%。 這裡的 2.25 是兩期累積倍率，代表總成長率為 125%；1.8 則是未知那一期的倍率，代表該期成長率為 80%。務必先確認題目問的是單期成長率、累積成長率，還是最終倍率。 時間區間也要數清楚：從第一年的營收到第三年的營收，經過的是兩次年度成長，分別是第一年到第二年、第二年到第三年。 四、長方體體積：三個方向的倍率相乘 長方體原體積 V＝長×寬×高。若長、寬、高分別變為原來的 a、b、c 倍，新體積即為 abcV。因此，只要比較體積倍率，就能判斷大小，不必知道實際邊長。 邊長變化方式體積倍率相對原體積的變化 長增 20%，寬、高各減 10%1.2×0.9×0.9＝1.2×0.81＝0.972減少 2.8% 長減 20%，寬、高各增 10%0.8×1.1×1.1＝0.8×1.21＝0.968減少 3.2% 原體積的倍率為 1，而 1＞0.972＞0.968，所以原長方體最大，長增 20% 的變化方式次之，長減 20% 的變化方式最小。雖然邊長百分率表面上都可加成零，體積仍會改變，因為體積採乘法關係。 判斷技巧：凡是「有增有減、百分率加總為零」的組合，乘積通常小於 1，因此變化後的體積多半都比原體積小；再比較誰減少得多即可排序。 五、複利分期償還：先畫時間，再做等值 複利是把尚未償還的本利和，乘以每期倍率 1＋i。分期償還時，已還掉的金額不再留在欠款中計息，所以必須按照還款時間扣款。以下設月利率為 i，並令 x＝1＋i。 以借款 210 元、兩個月月底各還 121 元為例，可將所有金額換算到第二個月底：借款經過兩期，為 210x²；第一筆還款距離該時點尚有一期，等值為 121x；第二筆還款就在該時點，為 121。因此： 210x²＝121x＋121 210x²－121x－121＝0 （10x－11）（21x＋11）＝0。 因為本利倍率須為正，取 x＝1.1，故 i＝0.1＝10%。另一根為負，不符合情境。 也可用逐期欠款驗算：第一個月底欠款為 210×1.1＝231，還 121 後剩 110；再經一個月，110×1.1＝121，正好由第二筆還款清償。 選擇題也可直接代入選項驗算：把各選項的月利率代入逐期欠款計算，最後剛好歸零者即為答案，常比解二次方程式更快。 若改以借款當下為共同時點，則現值方程式為 210＝121÷（1＋i）＋121÷（1＋i）²。現值法、終值法與逐期結餘法，描述的是同一組金額在不同時間的等值關係。 常考陷阱 把先增後減視為互相抵銷：「增加 10% 再減少 10%，回到原量」忽略了基準改變。應看 1.1×0.9＝0.99，而非 10%－10%＝0。 只算一步就停：只做增加得 110 再誤記為 109，或只做減少得 90，都是沒有完整連乘兩個倍率；變化量本身（如 10）也不是「結果」。 把連續成長率直接相加減：連續兩期各成長 50%，累積倍率為 2.25，總成長率為 125%，不是 100%；若以「100%－25%＝75%」求未知那一期，也是錯誤的加減法。 把倍率誤當百分率答案：算得 1.8 倍，表示成長 80%；180% 是新量占原量的比例，不是成長率。 混淆單期與累積結果：兩期累積成長 125%，不代表最後一期也成長 125%。應以累積倍率除以已知那一期的倍率。 把體積變化當成邊長變化的加總：「20%－10%－10%＝0，所以體積不變」是錯誤判斷，三邊倍率必須全部相乘，因此「三者體積相等」的選項不成立。 用總利息直接平均求月利率：總還款 242 減借款 210 得 32，若再除以 210 與 2 個月，約得 7.6%，容易誤選 7.5%。中途已還一部分欠款，各月計息基礎不同，不能這樣平均。 忽略第一筆還款的時間價值：換算到第二個月底時，第一筆還款須乘一期倍率；不可寫成 210（1＋i）²＝242。 算出本利倍率就停筆：x＝1.1 是每月本利倍率，所求月利率仍須減去 1，才得到 10%。 記憶口訣 百分率先轉倍，連續變化一路乘；倍率減一求成長，體積三邊一起乘。 分期先定時間點，早款晚款換同時；先計利息再還款，剩餘欠款續計息。