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學習重點 熟用長方體表面積公式：S＝2(ab＋bc＋ca)，並分清邊長、單面面積、表面積與體積。 把最簡整數邊長比轉成共同倍數，再用「邊長為正整數」限制倍數的可能值。 掌握相似長方體的尺度變化：邊長放大 k 倍，表面積放大 k² 倍，體積放大 k³ 倍。 由已知面積列出整數因數配對，用表面積篩選第三邊，最後用體積求單位正方體的塊數。 核心觀念 一、先分清楚：表面積算外面，體積算裡面 設長方體的三個邊長為 a、b、c。長方體共有六個面，相對的兩面形狀、大小相同，所以 ab、bc、ca 三種面積各出現兩次。 表面積：S＝2ab＋2bc＋2ca＝2(ab＋bc＋ca)。體積：V＝abc。 數量計算方式判讀重點 某一面的面積兩個相鄰邊長相乘可能是 ab、bc 或 ca 表面積的一半S÷2＝ab＋bc＋ca三種面積各取一次的總和 體積abc底面積乘以垂直於底面的高 用邊長為 1 的正方體緊密堆成完整長方體時，每塊體積都是 1，所以所需塊數等於長方體的體積數值。三個邊長就是各方向排列的單位正方體數，因此都是正整數。 二、已知邊長比例：先設共同倍數，再套表面積 若長、寬、高的比為 3：2：1，可設三邊為 3k、2k、k，其中 k＞0。最短邊就是 k，而題目要求所有邊長都是整數，所以k 必須是正整數。 代入表面積公式：S＝2［(3k)(2k)＋(2k)(k)＋(k)(3k)］＝2(6k²＋2k²＋3k²)＝22k²。 所以這種長方體的表面積必須是22 乘以正整數的平方。k＝1、2、3 時，表面積依序為 22、88、198。要判斷某個數是否可能，只要檢查「該數÷22」是否為正整數的完全平方數。 例如 88÷22＝4＝2²，得 k＝2，三邊為 6、4、2，符合整數條件。44÷22＝2，雖然能整除，但不是完全平方數，找不到符合條件的整數邊長。24、36 連 22 都無法整除，可直接排除。 比例的共同倍數不能不加判斷就當成整數。本例能直接判定 k 是整數，是因為比例中有 1，對應的邊長就是 k。遇到其他比例時，要先化為最簡整數比，再檢查共同倍數的限制。 三、邊長倍數與表面積倍數不同 三個邊長同時放大 k 倍時，每個面的兩個邊長都放大 k 倍，所以面積放大 k² 倍。體積是三個邊長相乘，所以放大 k³ 倍。 以邊長 3、2、1 的長方體為基準，表面積為 22。三邊都變成 2 倍時，表面積是 22×2²＝88，體積變成原來的 2³＝8 倍。表面積不能只乘以 2。 四、已知一面面積與表面積：用因數配對求第三邊 已知某一面的面積時，可以把這一面當作底面，設兩邊為 x、y，垂直於這一面的邊長為 z。這樣就有底面積 xy，以及表面積公式 S＝2(xy＋xz＋yz)。已知的面不論是長方體的哪一面，都可以這樣設定，不影響結果。 把公式除以 2 再整理：z(x＋y)＝S÷2－xy。也就是先扣掉已知的那種面積，再用另外兩種面積的和求第三邊。 以 xy＝12、S＝108 為例：xy＋xz＋yz＝54，xz＋yz＝54－12＝42，所以 z(x＋y)＝42，也就是 z＝42÷(x＋y)。 x、y 都是正整數且 xy＝12，所以只要列出 12 的正整數因數配對。交換 x、y 不影響結果，不必重複列出。 x、yx＋yz＝42÷(x＋y)是否符合整數邊長 1、121342÷13不符合 2、6821÷4不符合 3、476符合 由此得到三邊為 3、4、6，體積為 3×4×6＝72，所以需要 72 塊單位正方體。也可以直接用已知面積×垂直於該面的邊長，算出 12×6＝72。 最後代回檢查：三種面積為 12、18、24，表面積為 2×(12＋18＋24)＝108。這樣就同時確認了已知面積、表面積和整數邊長三個條件。 常考陷阱 漏乘 2：ab＋bc＋ca 只是三個面的面積，完整表面積還要乘以 2。反過來，由表面積求三種面積的總和時，要先除以 2。 把「某一面」當成六個面都一樣：長方體只有相對的面一定等大，不能把某一面的面積直接乘以 6。只有正方體才能這樣算表面積。 把比例數字直接當成實際邊長：3：2：1 只表示相對關係，實際邊長也可能是 6、4、2 等，要保留共同倍數 k。 只檢查是否為 22 的倍數：S＝22k² 且 k 為正整數，所以 S÷22 還必須是完全平方數。能整除只是必要條件，不保證可行。 接受非整數的第三邊：因數配對代入公式後，即使算出正數，也要檢查是不是整數。單位正方體堆成的完整長方體，各方向的塊數不可能是分數。 只看乘積就任選一組因數：底面積固定時，底面兩邊的和仍可能不同，會影響第三邊。要列完不重複的因數配對，再用表面積篩選。 把表面積當作塊數：單位正方體的數量由體積決定。求出三邊後要算三邊乘積，不能直接用表面積數值。 記憶口訣 「三面相加再乘二；邊放幾倍，面放平方。」 「一面拆因數，半表扣已知；剩下除邊和，整數才合題。」 作答順序記成：比例題先設倍數，面積題先配因數；整數條件要篩選，求塊數最後算體積。