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學習重點 以「點到圓心的距離」與半徑比較，判斷點在圓內、圓上或圓外，並求點到圓周的最短距離。 看見互相垂直的水平距離與鉛直距離，就利用畢氏定理求斜向距離。 判斷長方形車身能否通過半圓形拱門，應檢查車身上方兩角，並區分「恰好碰到」與「完全不觸碰」。 處理掃地機器人的牆角問題，先分清機身半徑與清潔半徑，再利用圓與牆面的交點或角平分線，判斷覆蓋範圍。 核心觀念 一、先求點到圓心的距離，再與半徑比較 設圓心為 O、半徑為 r，平面上一點為 P，且 OP＝s。若 P 與 O 的水平距離為 a、鉛直距離為 b，這兩段距離互相垂直，因此由畢氏定理可得： s＝√(a²＋b²)。 求出 s 後，先判斷點的位置，再決定距離的算法，不能一看到圓就直接把半徑相減。 比較結果點的位置點到圓周的最短距離 s＞r圓外s－r s＝r圓上0 s＜r圓內r－s 所以，點到圓周的最短距離可統一寫成 |s－r|。若題目問的是點到圓盤所涵蓋區域的最短距離，則點在區域內時距離為 0；只有點在區域外時，才是 s－r。 圓外點到圓周的最近點，位於該點與圓心的連線上。理由是：對圓上任意一點 Q，三角形兩邊和不小於第三邊，故 PQ＋r ≥ OP，得到 PQ ≥ OP－r；當 P、Q、O 依序共線時即可取等號。 二、半圓形拱門：車寬與車高必須一起檢查 半圓形拱門的開口寬為直徑，地面到最高點的高度為半徑。開口寬 8 公尺、最高點高 4 公尺，表示可通行的內部邊界是半徑 4 公尺的半圓，圓心位於地面開口的中點。 將寬 w、高 h 的長方形車身置於拱門中央，車身上方兩角距圓心的水平距離均為 w÷2，鉛直距離均為 h。因此，上角到圓心的距離平方為： (w÷2)²＋h²。 車身置中時，上方兩角是整個長方形截面中距圓心最遠的點。若它們都在圓內，車身其餘部分也都在半圓形開口內。因此，不觸碰拱門的通行條件為： (w÷2)²＋h²＜r²。 若等於 r²，代表上角恰好碰到拱門，不符合「不觸碰」；若大於 r²，則上角超出開口，無法通過。比較時可直接比較平方值，不必每次開根號。 車輛半寬高上角距圓心平方與 r²＝16 比較結論 寬 5、高 32.536.25＋9＝15.25＜16可以通過 寬 4、高 4244＋16＝20＞16不能通過 因此結論為「甲可以、乙不可以」。這也說明：車高等於拱門最高點，並不表示有寬度的車輛可以通過——只有正中央那一點高 4 公尺，離中央越遠，可用高度越低。 車身置中是最有利的位置。若向一側偏移，另一側上角與圓心的水平距離會增加；所以置中仍無法通過時，偏向一側也不能解決問題。 三、牆角與掃地機器人：機身定位，邊刷決定清潔範圍 圓形機器人同時緊貼兩面互相垂直的牆時，圓心到每面牆的垂直距離都等於機身半徑。設牆角為 P、機身半徑為 R，圓心 O 與牆角形成兩股皆為 R 的直角三角形，所以： OP＝√(R²＋R²)＝R√2。 機身半徑為 16 公分，邊刷有效清潔範圍向機身外再延伸 4 公分，故清潔半徑為 16＋4＝20 公分。注意：圓心的位置由機身半徑 16 決定，不能改用清潔半徑 20 定位。 牆角到圓心的距離為 16√2 公分（約 22.63 公分），大於清潔半徑 20 公分，因此牆角位於清潔圓外。牆角到清潔範圍的最短距離為： d＝16√2－20 公分，約為 2.63 公分。 這段最短距離沿著牆角與圓心的連線，也就是直角牆角的角平分線方向；它不是沿牆面量出的距離。 四、用圓與直線的交點，判斷木板能否完全覆蓋 判斷木板能否覆蓋整個掃不到的區域，必須比較區域的位置與邊界。面積較大、某一條邊較長，都不足以單獨保證完全覆蓋。 可將牆角設為原點，兩面牆作為互相垂直的座標軸。機器人圓心為 (16，16)，清潔圓的邊界符合： (x－16)²＋(y－16)²＝20²。 求清潔圓與水平牆面的交點，令 y＝0，得到 (x－16)²＝400－256＝144，所以 x＝4 或 28。其中，靠近牆角的交點距牆角 4 公分；另一面牆也因對稱而得到相同結果。因此，沿任一面牆，距牆角未滿 4 公分的部分仍在清潔範圍外。即使機器人沿牆移動，圓心最多只能退到 (16，16)，無法更靠近牆角，所以這段 4 公分仍掃不到。 掃不到的區域，就是由兩面牆（各 4 公分）與清潔圓的一段弧所圍成、靠近牆角的小區域：沿牆方向延伸 4 公分，沿角平分線方向延伸 16√2－20≈2.63 公分。 兩股各長 2 公分、兩股分別貼牆的等腰直角三角形木板，沿每面牆只能覆蓋到 2 公分處，無法涵蓋靠近牆角的全部未清潔區域。例如沿牆距牆角 3 公分處的點 (3，0)，代入得 (3－16)²＋16²＝169＋256＝425＞400，在清潔範圍外，也在木板之外，故木板不能完全覆蓋掃不到的區域。 也可沿角平分線判斷。此木板的斜邊長為 2√2 公分，但牆角頂點到斜邊的距離只有 √2 公分（約 1.41 公分）。由於 √2＜16√2－20（約 2.63），木板沿角平分線的覆蓋長度，尚未到達清潔範圍，仍會留下空隙。 常考陷阱 「車寬小於門寬、車高不超過最高點，就能通過」：半圓越靠近兩側，可用高度越低，必須以車身上角檢查，不能將寬、高分開判斷。 「算車身上角到圓心的距離時，使用整個車寬」：置中後的水平距離是半個車寬，應代入 w÷2。 「等於半徑也算不觸碰」：等號代表接觸圓周；題目要求不觸碰時，必須使用嚴格小於。 「邊刷伸出 4 公分，所以清潔半徑是 4 公分」：4 公分是增加的長度，清潔半徑應為機身半徑加上延伸量。 「牆角到圓心等於兩段距離相加」：16＋16 是沿折線走的長度，直線距離應用畢氏定理求得 16√2。 「最短距離與沿牆距離相同」：角平分線上的最短距離為 16√2－20；沿牆到清潔邊界的距離為 4，兩者方向不同。 「拿三角形斜邊與最短距離比較」：應比較同一方向的長度。沿角平分線時，要用頂點到斜邊的距離 √2，不能用斜邊長 2√2。 「看到局部被蓋住，就判定完全覆蓋」：完全覆蓋必須處處成立；反之，只要找出一處未清潔且未被木板覆蓋的位置，就足以否定。 記憶口訣 先找圓心，再算斜距；外點減半徑，最近沿連心。 拱門看上角，車寬取一半；不碰用小於，等號就是碰。 機身定圓心，邊刷加半徑；覆蓋看邊界，比較同方向。