阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 數列與圖形規律：分別計算黑點與線段的增加量，掌握等差數列的一般項、前 n 項和及等長分段和。 空間向量：以「終點減起點」求向量，再將對應分量相乘後相加，求出內積。 應用與推理：分錢問題以總額不變列方程式；真假話問題依真話數量檢驗假設。 線對稱與自然科學：移除線段後重新尋找對稱軸；熟記光的三原色，以及魚肝油與維生素 A、D 的關係。 核心觀念 一、圖形規律：黑點與線段分開計算 觀察圖形時，先確認每增加一個構造單位，黑點與線段各增加多少，再寫出一般式。只有前兩個數值，不能保證後續一定依等差規律增加，仍須配合圖形的重複構造確認。 若黑點由 5 個、8 個依序每次增加 3 個，第 n 個圖的黑點數為 5＋3(n－1)＝3n＋2；線段由 4 條、8 條依序每次增加 4 條，線段數為 4＋4(n－1)＝4n。兩者合計為 7n＋2，因此 n＝12 時，黑點為 38 個、線段為 48 條，總和為 86。 計數時，共用的黑點或線段不可重複計算。寫出公式後，應代回前面各圖核對，確認計數方式與圖形一致。 二、等差數列：公差、一般項與項和 概念公式與判斷 公差 d後項減前項；數列遞減時，公差為負數。 第 n 項 a(n)a(n)＝a(1)＋(n－1)d。 前 n 項和 S(n)S(n)＝n［a(1)＋a(n)］÷2。 項和的另一形式S(n)＝n［2a(1)＋(n－1)d］÷2。 以 125、122、119、……為例，公差是 122－125＝－3，因此一般項為 a(n)＝125－3(n－1)。第 25 項為 125－72＝53；前 10 項和為 10［250－27］÷2＝1115。 相鄰兩段若各有 k 項，後段和減前段和等於 k²d。原因是後段每一項都比前段對應項多 kd，共有 k 組對應項，因此總差為 k×kd。 例如前 20 項與接續的 20 項相比，段和差為 20²×（－3）＝－1200，所以 S(40)－S(20)＝S(20)－1200。注意 S(40)－S(20) 表示第 21 項至第 40 項的總和。 三、空間向量與內積 由兩點求向量時，固定使用終點座標減起點座標。例如 A(2,－3,4)、B(3,－4,4)、C(2,－2,3)，可得 AB 向量＝(1,－1,0)，AC 向量＝(0,1,－1)。 若 u＝(u1,u2,u3)、v＝(v1,v2,v3)，則內積為 u·v＝u1v1＋u2v2＋u3v3。因此上述 AB 與 AC 的內積為 1×0＋（－1）×1＋0×（－1）＝－1。 運算方法結果 向量加減對應分量相加或相減向量 向量內積對應分量相乘，再全部相加純量，即一個數 兩個非零向量的內積為 0，表示互相垂直；內積為正，夾角小於 90°；內積為負，夾角大於 90°。若只將其中一個向量反向，內積會變號；若兩個都反向，內積不變。 四、平均分錢：總額不變 設原有人數為 n，每人分 x 元，總額就是 nx。人數增加，每人所得減少；人數減少，每人所得增加，但兩種情況的總金額都必須等於原總額。 增加 6 人、每人少分 20 元：列式為（n＋6）（x－20）＝nx，化簡得 3x－10n＝60。 減少 3 人、每人多分 20 元：列式為（n－3）（x＋20）＝nx，化簡得 3x＝20n－60。 聯立兩式可得 10n＝120，因此原有12 人，每人分 60 元，總額為 720 元。 代回驗算：18 人各分 40 元，以及 9 人各分 80 元，總額都為 720 元。答案必須對應題目所問的量，不能把每人金額或總額當成人數。 五、真假話：先找相同命題 「只有一句真話」表示恰好一句為真，其餘都為假。解題時可逐一假設吃東西的人，再檢查所有說法的真假。 「二哥吃了」與二哥說「我吃了」，內容是同一個命題，必定同真同假。若它們都為真，就會出現兩句真話，因此兩句只能都為假，可知二哥沒有吃。 剩下的「小弟沒有吃」必須為真，因此小弟也沒有吃。在已知只有三兄弟之一吃了的前提下，吃的人就是大哥。 若兩句話恰好互為否定，例如「某人吃了」與「某人沒有吃」，則必定一真一假。不要把「兩人互相指責」直接當成互為否定，應先確認命題內容。 六、線對稱：移除後重新找軸 線對稱圖形是沿某一直線對摺後，两側能完全重合的圖形，該直線稱為對稱軸。判斷時，軸外每一條線段都要有位置、方向與長度相符的鏡射線段；位於軸上的線段則可映回自身。 移除木棒後，應檢查剩餘圖形是否存在任何一條對稱軸，不必沿用原本的軸。八支等長木棒的指定移除情形中，所列三種方式都能保留線對稱，符合條件的方式共有3 種。 若原圖對某軸對稱，且移除的線段集合也對同一軸對稱，剩餘圖形便仍對該軸對稱。若原軸已不適用，則應再找其他可能的軸。 七、光的三原色 比較色光色料 三原色紅、綠、藍（RGB）青、洋紅、黃（CMY） 混色原理加法混色減法混色 三者混合適當比例可形成白光理想情況可形成黑色 黑色不是光的三原色，在色光模型中代表沒有可見光輸出；白光是三原色色光適當混合的結果，也不是其中一種原色。 八、魚肝油與維生素 魚肝油含維生素 A、D。在魚肝油過量與營養素中毒的辨識中，應掌握維生素 A這個關鍵；不可因為其他選項也屬脂溶性維生素，就認定它們同樣符合魚肝油的成分特性。 分類種類基本特性 脂溶性A、D、E、K可在體內儲存，過量攝取可能累積並造成毒性。 水溶性B 群、C多餘部分通常較容易排出，但不代表過量一定無害。 常考陷阱 把減少量當公差：每次少 3，公差就是－3；寫成正 3 是錯誤的。 一般項多加一次公差：從首項到第 n 項只有 n－1 次變化。 分段和只乘一次項數：每段 k 項的相鄰段和差是 k²d，不是 kd。 內積選成座標：內積結果是一個數；三個分量組成的座標表示向量。 只算黑點或只算線段：若要求兩者合計，須分別求值後相加。 相信承認者一定說真話：真假取決於全部敘述能否同時符合真話數量限制。 原對稱軸失效就判不對稱：剩餘圖形可能具有其他對稱軸。 混淆色光與色料：光是紅綠藍；黑、白都不是光的三原色。 只靠脂溶性分類選答案：魚肝油須連結 A、D，其中所考的中毒營養素為 A。 記憶口訣 等差：「後減前求差，項數減一再乘差；首末相加乘項數，最後除以二。」 向量：「終點減起點，內積乘後加。」 真假話：「同話同真假，假設後驗算。」 自然常識：「紅綠藍，合成白；脂溶 ADEK，魚肝記 A、D。」