次數分配、常態與偏態

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建立於 2026年10月15日

學習重點 從曲線尾巴、分數集中位置及集中量數的關係，辨認常態、正偏態、負偏態與多峰分配。 熟記常態經驗法則：平均數上下各一、二、三個標準差，依序約占68%、95%、99.7%。 利用標準分數與常態面積，解釋分數區間比例及「大約贏過多少人」。 掌握全體分數加減相同常數後，集中位置改變，但分散程度與相對位置不變。 區分百分等級與百分位數，能由累積次數找出中位數所在組，並用百分等級解釋測驗結果。 核心觀念 一、次數分配與曲線形狀 次數是某分數或某組資料出現的人數；次數分配表將資料分組並列出各組次數；累積次數則是由低分往高分逐組加總的人數。分配圖通常以橫軸表示分數、縱軸表示次數，可觀察資料集中位置、尾巴方向及高峰數目。 型態圖形特徵判斷重點 常態分配單峰、左右對稱、鐘形平均數＝中位數＝眾數 正偏態，又稱右偏態主要集中在低分端，尾巴向右延伸低分者多，少數高分形成右尾 負偏態，又稱左偏態主要集中在高分端，尾巴向左延伸高分者多，少數低分形成左尾 雙峰或多峰有兩個或更多高峰本單元以有不只一個眾數理解 矩形分配各組次數大致相同沒有明顯高峰 高狹峰、低闊峰描述峰形較尖窄或較平闊與尾巴向左或向右是不同判斷面向 偏態命名看尾巴，不看高峰。右尾是正偏，左尾是負偏。考試較難、低分者多，常呈正偏；考試較容易、高分者多，常呈負偏。百分制成績若多數集中在75～98分，依本單元情境應判為負偏態，不能只因分數集中就判為高狹峰。 多峰可能反映不同群體混合，例如程度差異較大的學生一起受測；但僅憑多峰，不能確定造成群體差異的原因。 二、偏態與平均數、中位數、眾數 平均數是總分除以人數；中位數，又稱中數，是排序後位於中央的位置；眾數是出現次數最多的值。平均數較容易受到極端值影響，通常被拉向長尾方向。 典型分配集中量數關係 單峰正偏態平均數＞中位數＞眾數 單峰負偏態平均數＜中位數＜眾數 常態分配平均數＝中位數＝眾數 上述大小關係是本單元判斷典型單峰偏態的考試規則。平均數60、中位數55，最可能是正偏態；已知單峰正偏態，便可判斷平均數大於中位數。不宜將此規則擴張為所有不規則分配都必然成立。 薪資與年資的應用：薪資分配若呈正偏態，表示低薪者較多。再配合薪資與教學年資呈正相關，本單元的情境推論為資淺教師較多。正相關表示年資增加時薪資傾向增加，並非每個人的薪資都完全由年資決定。 三、常態分配的面積與分數區間 常態曲線的總面積為100%，平均數左右各占50%。以M表示平均數、SD表示標準差： 範圍約占全體平均數至右側界點 M±1SD68%約34% M±2SD95%約47.7% M±3SD99.7%約49.9% 上下各一個標準差約占68%，若選項只有60%、70%、80%、90%，應選最接近的70%。上下各二個標準差約占95%，常見表列值為95.44%。 由比例求區間：求約95%的中央分數範圍，使用M±2SD。平均數70、標準差5，範圍為60～80分；平均數65、標準差10，範圍為45～85分。此處是受試者分數的涵蓋範圍，不是平均數的信賴區間。 智力分數先確認標準差：平均數100、標準差16時，84～116分正好是上下各一個標準差，約占68%。魏氏智力量表以平均數100、標準差15計算，85分是低於平均數一個標準差，130分是高於平均數二個標準差。 因此85～130分須分成「85～100」及「100～130」兩段；依常見表列面積，34.13%＋47.72%＝81.85%。不能因區間不對稱，直接套用68%或95%。 四、標準分數與「贏過多少人」 z＝（原始分數－平均數）÷標準差。z表示分數距離平均數幾個標準差；正值在平均數之上，負值在平均數之下。只有在常態分配假設下，才能直接利用常態面積換算百分等級。 z值－2－10＋1＋2 約略百分等級2.315.95084.197.7 平均數75、標準差8，67分的z＝－1。其下方面積約為50%－34.13%＝15.87%，即大約贏過16%的人。選項若提供16.67%，應選此最接近值；不要將16.67%背成z＝－1的精確比例。 五、全體分數加減相同常數 每人都加10分，整個分配向右平移10分。平均數、中位數、眾數及各百分位數都增加10分；彼此差距與排名不變。 會改變不會改變 平均數、中位數、眾數、百分位數標準差、變異數、全距、四分差、z分數、百分等級、分配形狀 z分數不變，是因原始分數與平均數同時增加10，兩者相減的結果不變，標準差也不變。此規則以每人確實增加相同分數為前提；若另設滿分上限，使部分學生實際增加較少，就不能直接套用。 六、百分等級與百分位數 概念回答什麼例子 百分等級PR某分數在參照群體中的相對位置PR80表示約有80%的人分數低於該分數 百分位數P某百分等級所對應的資料值P80＝72，表示第80百分位數為72分 P50就是中位數，回答的是分數或資料值，不是「50%」。例如P50約為59，表示中央位置對應的資料值約59。 分組資料求百分位數時，先算目標累積人數，再從低分組往上累加，找出所在組。常用內插公式為： Pp＝L＋〔（N×p÷100－cf）÷f〕×i L：所在組的真正下限；N：總人數。 cf：所在組之前各組的累積次數；f：所在組次數；i：組距。 求P50時，目標累積人數為N÷2。整數組別50～59的真正下限通常為49.5，組距為10。 內插是假設組內資料均勻分布的估計方法。向學生及家長解釋學業性向測驗，百分等級較容易理解，但須說明比較的是哪個參照群體。PR80不是答對80%，也不表示能力是PR40者的兩倍；百分等級之間的差距不代表等距的能力差距。 常考陷阱 「正偏＝左偏、高分者多」：錯。正偏是右尾，通常低分者多。 「高峰在右就是正偏」：錯。判斷偏態要看長尾方向。 「多峰表示多個平均數或中位數」：錯。本單元考的是不只一個眾數。 「正偏態的平均數小於中位數」：不符合典型單峰正偏態的判斷規則。 「上下各一個標準差占34%」：錯。34%只是平均數到一側一個標準差的面積，兩側合計約68%。 「95%的中央範圍用平均數上下各一個標準差」：錯。約95%應用上下各二個標準差。 「低於平均數一個標準差贏過84%」：錯。約贏過16%；高於平均數一個標準差才約為84%。 「每人加10分，標準差與百分等級也增加」：錯。差距與排名不變。 「PR50的百分位數就是50」：錯。應求中位數所對應的資料值，並留意真正下限與前組累積次數。 記憶口訣 偏態看尾巴，平均追尾巴。 一二三個標準差，68、95、99.7。 加減只搬家，差距排名都不變。 PR問位置，P問資料值；P50是中位數。