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學習重點 區分集中量數與變異量數：前者表示代表位置，後者表示分散程度；偏態、峰度描述分配形狀。 掌握平均數、中位數、眾數的選用：一般連續數值資料常用平均數；有極端值或明顯偏態時，宜用中位數。 依尾巴方向、多數分數的位置及集中量數的大小關係，判讀正偏、負偏與常態分配。 熟悉標準差、變異數、常態分配比例與 Z 分數，判斷分數的相對位置。 會計算平均數與全距，理解全體加分對集中位置、分散程度及相對位置的影響。 核心觀念 一、集中位置與分散程度 集中量數回答「這群資料的代表值在哪裡」；變異量數回答「資料彼此差多少、分布多分散」。高低分的差距屬於變異概念，不能用平均數或中位數表示。 類別常見量數用途 集中量數平均數、中位數、眾數描述代表位置 變異量數全距、四分位差、平均差、變異數、標準差描述分散程度 分配形狀偏態、峰度描述不對稱程度及峰形特徵 全距＝最大值－最小值，只取兩端數值，容易受極端值影響。四分位差＝（第三四分位數－第一四分位數）÷2，描述中央一半資料的分散情形。 變異數或標準差越小，資料越集中，團體越同質。在以學生成就差距作為教育機會均等指標的題型中，應選變異數最小者；實際教育機會是否均等，仍不能只靠成績變異數判定。 二、集中量數的定義與選用 量數定義選用關鍵 算術平均數全部數值總和÷個數使用全部資料，容易受極端值拉動；一般連續數值資料常用 中位數排序後的中央位置較不受極端值影響，適合偏態、收入與薪資資料 眾數出現次數最多的值或類別名義尺度也能使用，可能有多個眾數 求中位數要先排序：奇數筆取中央一筆；偶數筆數值資料取中央兩筆的平均。中位數對應第50百分位的概念。班上有少數成績特別突出的學生，或公司有少數極高薪主管時，中位數較能呈現一般成員的典型位置。 三、測量尺度 尺度特性例子與適用量數 名義只能分類血型、學號；可用眾數 次序可排序，間距不必相等名次、等第；可用中位數、眾數 等距單位間距相等，沒有絕對零點攝氏溫度；教育測驗分數通常依等距尺度處理，可用平均數 比率等距且有絕對零點身高、體重、年齡；可比較倍數 等距尺度可比較差多少，不能據此解釋能力的倍數。考80分不能說能力是40分者的兩倍，考0分也不代表完全沒有能力。等距與連續是不同概念：等距指間隔意義相等，並非所有等距資料都必須連續。 四、偏態與集中量數的關係 偏態方向看尾巴，不看高峰。少數極端值把尾巴拉向哪一側，就稱為哪一側偏態。以下大小關係適用於考試常見的典型單峰偏態分配。 分配多數資料位置尾巴典型大小關係 正偏／右偏低分端向高分端延伸平均數＞中位數＞眾數 負偏／左偏高分端向低分端延伸眾數＞中位數＞平均數 常態中央，左右對稱兩側對稱平均數＝中位數＝眾數 測驗太難，多數人低分，常呈正偏；測驗較容易，多數人高分，常呈負偏。平均數容易被尾端極端值拉動，因此平均數小於中位數、或眾數大於平均數時，典型判讀為負偏；平均數大於眾數時，典型判讀為正偏。 皮爾森經驗關係：在適用的中度偏態分配中，平均數－眾數≈3（平均數－中位數），亦即眾數≈3×中位數－2×平均數。這是近似關係，不是所有分配必然成立的等式。 PR與及格線的題型判讀：PR50約對應中央位置；PR90表示相對位置高於約九成同儕。中央位置已在高分區，題目通常採負偏解讀；低分者仍有很高PR，表示多數人分數更低，通常採正偏解讀。嚴格而言，僅靠單一分數、PR與及格線不能唯一確定偏態，及格線也不等於分配中心。 五、變異數與標準差 變異數是離均差平方的平均；標準差＝變異數的平方根，表示所有分數到平均數的典型距離。標準差不是某一筆分數的離均差，也不是測量標準誤。 描述整群資料時：變異數＝離均差平方和÷N；以樣本估計母群變異數時，常除以n－1。標準差與原始資料單位相同，變異數則是原單位的平方。變異數為36平方分，標準差就是6分。 例如80、78、60、91、80：平均數77.8，中位數與眾數皆為80；離均差平方和為500.8，除以5得到變異數100.16，開根號得到標準差約10.0。 六、常態分配與相對位置 範圍約占比例 平均數±1個標準差68.27% 平均數±2個標準差95.45% 平均數±3個標準差99.73% Z＝（個人分數－平均數）÷標準差。常態分配中，低於Z＝0者占50%；低於Z＝1者約占84.13%；低於Z＝2者約占97.72%。智力平均100、標準差15，分數130的Z＝2，因此約97.72%的人分數低於他。 固定分數與平均數時，分數低於平均，標準差越大，負的Z越接近0，相對位置越高。例如平均73、得分71，標準差為2、4、8時，Z依序為－1、－0.5、－0.25。分數高於平均則相反，標準差越小，Z越大。 七、全體加分與平均數計算 每人都加相同常數，平均數、中位數、眾數都增加該常數；全距、變異數、標準差、Z、PR與名次不變。單純平移沒有新增測量資訊，題型中的測驗效度判為不變；及格線固定時，及格人數可能增加。以上以沒有封頂、截斷等額外處理為前提。 全體乘以正數b，集中量數與標準差乘以b，變異數乘以b²，Z與排序不變。 新增一筆資料：設新增後共N筆，則（原平均×原筆數＋新增值）÷N＝新平均。原平均80，新增98後平均83，可得80（N－1）＋98＝83N，故總共6筆。 綜合條件求全距：先由平均數求總和，再排序並套入中位數與唯一眾數。五個正整數平均6、中位數8、唯一眾數9，可排成a、b、8、9、9，故a＋b＝4。取1、3、8、9、9，符合所有條件，最大全距為8。 常考陷阱 「正偏代表多數高分」：錯，正偏看右尾，多數分數在低端。 「平均數考慮所有人，所以極端值下最適合」：極端值會拉動平均數，此時通常選中位數。 「對稱就一定三量數相等」：常態三者相等；一般對稱分配可能有雙峰，眾數不必位於中央。 「全體加分會縮小差距」：同加常數，分散程度與相對位置不變。 「等距不能進行任何乘除計算」：可以做統計運算，但不能將分數倍比解釋成能力倍比。 「±1個標準差占34%」：兩側合計約68%；34%是平均數到單側1個標準差的面積。 「標準差越大，相對位置一定越高」：先看分數高於或低於平均數。 記憶口訣 尾巴向右是正偏，尾巴向左是負偏。 正偏平中眾，負偏眾中平。 有極端，找中位；加常數，差不變。 變異開根成標準；常態面積68、95、99.7。