101年 - 101 國立嘉義大學_數理教育研究所碩士班(甲組)招生考試試題：普通數學#146225

1. 小明有一個由 0 ~ 9 這些數字組成的四位號碼鎖，因長期不用，現在他只記得當初設定的密碼有 3 和 6 兩個數字，且四個數字不重複。求他試驗一次，就能把鎖打開的機率。

2. 設向量\( \vec{A} = (-2, 1) \)和\( \vec{B} = (2, -3) \) ，且向量\( \alpha \vec{A} + \vec{B} \)與向量\( \vec{A} - \vec{B} \)互相垂直求實數α的值。

3. 設一皮球從距離地面 15 公尺之高度落下，若每次返跳的高度為其落下時高度的 N 倍，其中 0

4. 設某校 1000 位學生的數學考試成績平均分數是 65.24 分，樣本標準差為 5.24 分，若已知成績分佈呈常態分配，試估計約有多少人數學成績低於 60 分?

二、每題 15 分，共 60 分
1. 求函數\( f(x) = -4 \sin^2 x + 2 \sin x + 3 \)的值域。

2. 設數列{ a_n }滿足\( a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, n = 3, 4, 5, \cdots \) 。
證明\( a_1 + a_2 + \cdots + a_n = a_{n+2} - 1, n = 1, 2, 3, \cdots \) 。

3. 試求滿足\( 195x - 100y = 5 \) ，而且 \( 100 < x < 200 \)之所有整數解。

4. (1)假設n為自然數，試証\( \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)： 恆成立。

(2)利用(1)，求 \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \dots + (39)^2 = ? \)