107年 - 107 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題_理工學院：微積分#144672

科目：研究所、轉學考(插大)-微積分 | 年份：107年 | 選擇題數：0 | 申論題數：14

1. 若 $ y = \ln \frac{(x+5)^3 \sqrt{x^2+4x+18}}{x^6+9x^4+3x^2+10} $, 則 $\frac{dy}{dx} = $ ______ .

2. $\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx = \underline{\hspace{1cm}}$

3. 若 $\sqrt{xy} + xy = 1$，則 $\frac{dy}{dx} = \underline{\hspace{1cm}}$。

4. $\int \tan^5 x \, dx = $ ______

5. $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{2x} \sqrt{t^2+5} dt = \underline{\hspace{1cm}}$

6. $\lim_{x\to 4^{-}} \frac{\sqrt{4x^2-32x+64}}{3x-12} =$ ______

7. 若 $ h(x) = f(g(x)) $ 可微分，且 $ g(2) = 3, g'(2) = \frac{1}{3}, f'(3) = 27 $，則 $ h'(2) = $ ______。

8. 若 $ f(x,y) = x^2 - y^3 - 10x + 12y + 19 $，則 $ f(x,y) $ 的相對極小值 = ______ 。

9. 若 $ f(x,y) = x^2 - y^3 - 10x + 12y + 19 $，則 $ f(x,y) $ 的相對極小值 = ______ 。

10. 座標平面上拋物線 $ y^2 = 4x $ 與直線 $ 4x - 3y = 4 $ 所圍成之區域面積 = ______。

二、計算題：(每題 10 分，共 40 分；請寫計算過程)
1. 若 $ y = x^{\cos x} $, 其中 $ x > 0 $, 則 $\frac{dy}{dx} = ?$

2. 求 $\int_{-2}^{3} |x^3 - x| dx = ?$

3. 找出冪級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x+1)^n}{2^n}$ 的收斂區間，並說明你的理由。

4. 求