112年 - 112 鐵路、國家安全情報特種考試_高員三級、三等考試_電力工程、電子組（選試英文）：工程數學#114964

1 某能量場可用函數Φ( x, y, z ) = 0.5( x²+2xy+2y²+z² ) 表示。該能量場在點 P(-1,0,1) 的最大變化率（rate of change）為何？ (A) (B) (C) (D)

2 令矩陣，則下列選項中何者為矩陣 A 的秩數（rank）？ (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

4 給定兩向量u=[1 1 2]^T及 v=[2 -1 1]^T ，下列選項何者錯誤？ (A) 此兩向量的範數（norm）乘積為 6 (B) 此兩向量的內積（inner product）為 3 (C) 此兩向量的外積（cross product）為[-3 -3 3]^T (D) 此兩向量的夾角為

5 T為R²到R³的線性轉換，且滿足。T(u)＝？ (A) (B) (C) (D)

6 若存在可逆矩陣 P 可將其對角化為。則P的第一行行向量為何？ (A)(B) (C) (D)

7 令矩陣，則 A² 的特徵值（eigenvalues）不是下列那一個選項？ (A) 9 (B) 1 (C) 16 (D) 4

8 下列矩陣何者是不可被「對角線化（diagonalizable）」？ (A) (B) (C) (D)

9 考慮微分方程式 。若乘上積分因子μ( x, y)後可將此方程式轉換成正合（exact）微分方程式，則μ為下列何者？ (A) μ=a(x) (B) (C) μ=-b(y) (D)

10 考慮微分方程式。若此方程式的級數解可表示為，則 c₃ 為何？ (A)(B) (C) (D)

11 函數 f(t)之拉普拉斯轉換（Laplace transform）為ℒ{f(t)}，令，則下列何者正確？ (A) f(t)=te^-t-e^-t+1 (B) f(t)=-te^-t+e^-t+1 (C) f(t)=-te^-t-e^-t-1 (D) f(t)=-te^-t-e^-t+1

12 函數，若在 t=0 處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到 A，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 B；在處，f(t)的傅立葉餘弦級數（Fourier cosine series）收斂到 C，傅立葉正弦級數（Fourier sine series）收斂到 D。則 A,B,C,D 各值為何？ (A) A=0, B=0, C=0, D=0 (B) A=2, B=0, C=-2, D=0 (C) A=0, B=2, C=-2, D=0 (D) A=2, B=0, C=2, D=0 1

13 已知函數，則下列何者為函數f(t)的傅立葉轉換（Fourier transform）？ (A) (B) (C) (D)

14 考慮複變函數 f(z)=(x³-3xy²)+i(3x²y-y³)，其中 z=x+iy。則為何？ (A) (B) (C) (D)f(z)不可以微分

15 考慮複變函數（complex function），若 C 為逆時鐘繞圓周 |z-1-i|=2 的路徑，且積分∮_c f (z)dz=a+bi，則下列選項何者正確？ (A) (B) a=π (C) (D) b=-π

16 給定複變數函數， 針對區域1<|z|<3 對函數f(z) 展開可得f(z)=… +az^-1+b+cz+dz²+…，則下列選項何者正確？ (A) (B) (C) (D)

17 某元件使用壽命X（單位：小時），其機率密度函數（probability density function）為f(x)=0.005e^kx, x≥0 。則k值及元件平均使用壽命為何？ (A) k=0.005 ，平均使用壽命 200 小時 (B) k=0.005 ，平均使用壽命∞小時 (C) k=-0.005 ，平均使用壽命200 小時 (D) k=-0.005 ，平均使用壽命∞小時

18 某雜訊的機率密度函數（probability density function）為[-1,3] 的均勻分佈，其變異數（variance）為 A。經過增益為 5 的放大器放大以後，其變異數為 B。則 A,B 各值為何？ (A) (B) (C) (D)

19 令隨機變數X,Y的聯合機率密度函數（ Joint probability density function ）為，其中 k 為實數，則下列何者正確？ (A) (B) 邊際機率密度（Marginal probability density function）為 (C) 邊際機率密度（Marginal probability density function）為 (D) 條件機率密度（conditional probability density function）為

20 給定兩向量 u=[2 -1 3]^T及v=[4 -1 2]^T，分解u為u₁+u₂，其中u₁為u在v的垂直投影（orthogonal projection），則下列選項何者錯誤？ (A) 向量 (B) 向量 u₂ 的範數（norm） (C) 兩向量 u₂ , v 的外積（cross product）為零向量 (D) 兩向量 u₁ , u₂ 的內積（inner product）為零

一、求微分方程式（Differential Equations）之通解（general solution）。（15 分）

（三）求系統方程式（ system equations ）之通解（general solution）。

（一）求此隨機變數 X 之均值（mean）或期望值（expected value）： μ_X 。

（二）求此隨機變數 X 之標準差（standard deviation）或變異數的開根號（square root of the variance）： σ_X 。

(二)閉合曲線（closed curve）C 為圓 |z|=2；利用柯西（Cauchy）留數定理（Residue Theorem）求複數線積分