115年 - 115 調查特種考試_三等_電子科學組：工程數學#143419

一、求解二階微分方程 y"+ y' +0.25 y=0 ，y (0) =3.0 ，y'(0) =-3.5。 （20 分）

二、設矩陣 A\(A = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} -1 & b & 2 \\ a & -1 & 1 \\ -1 & 3 & c \end{bmatrix}\)，其反矩陣為 \[ \begin{bmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{bmatrix} \]，a, b, c 為未知的實數， 求 a, b, c 的值。（20 分）

三、設矩陣 A=\[ \begin{bmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0 \end{bmatrix} \] ，已知特徵值為-i 和 i (i = \(\sqrt{-1}\))，其對應的特徵向量分別為\[ \begin{bmatrix} i \\ 1 \end{bmatrix} \] 和 \[ \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \]，α , β 為未知的實數，求α , β 的值。（20 分）

四、求下列複變積分值\[ \oint_C \left( \frac{ze^{\pi z}}{z^4 - 16} + ze^{\pi/z} \right) dz , C \text{ 為 } 9x^2 + y^2 = 9 \]逆時鐘方向的橢圓。（20 分）

五、 為連續隨機變數，其分布機率密度函數為分布在 a < x < b 間的均勻機率密度函數，已知其期望值 \(E[X] = \frac{a+b}{2}\), 求 \(E[X^2]\)=？（20 分）