115年 - 115 高等考試_三級_天文：應用數學（包括微積分、微分方程與向量分析）#141882

科目：應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析) | 年份：115年 | 選擇題數：0 | 申論題數：6

試卷資訊

所屬科目：應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)

選擇題 (0)

申論題 (6)

(一)請寫出上述方程的通解(General solutions) 。(15 分)
(二)令 \[ v(t) = \frac{1}{\sqrt{x^2(t) + y^2(t)}} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \] 求出 \(v(t)\) 的極限當 \(t\) 趨近 \(\infty\)。(10 分)
(一)求不定積分 \(\int \sqrt{1+y^2} dy\)。(15 分)
(二)設曲線 \(L = \{(x, \sin x) : x \in [0, \pi/2]\}\)，請求出 L 繞 x 軸一圈所產生的曲面的面積。(10 分)
三、設向量場 \(\vec{F}=(x, y)\) 及由橢圓 \(C = \{(x, y) : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\}\) 所圍成的封閉區域 \(D\)。請驗證散度定理 (Divergence theorem): (25 分) \[ \iint_D \text{div}\vec{F}dA = \oint_C \vec{F} \cdot \vec{n}ds \] 這裡 \(\vec{n}\) 表示 \(C\) 上的單位外法向量，\(s\) 表示弧長參數。
四、考慮以下雙曲線偏微分方程的問題：(25 分) \[ \begin{cases} u_{tt} = u_{xx} - 2, \quad (0 < x < \infty, t > 0) \\ u(x, 0) = 0, \quad u_t(x, 0) = 0, \quad (0 < x < \infty) \\ u(0, t) = 0, \quad (t > 0) \end{cases} \] 而且假設對任一時間 t > 0, 解 u(x, t) 在 \(0 < x < \infty\) 是有界函數。利用拉普拉斯轉換 (Laplace transform) 求此問題的解 u(x, t)。