阿摩線上測驗
31.有一個密碼鎖為四位數，請根據以下條件，推理出正確的密碼。注意：數字和位置都正確才叫正確。 (1) 5666：兩個數字正確；(2) 3065：兩個數字正確；(3) 6263：兩個數字正確，(4) 0066：三個數字正確， 請問密碼的第一個數字為下列何者？
(A) 0
(B) 3
(C) 5
(D) 6
統計： A(2), B(0), C(1), D(8), E(0) #4017229
詳解 (共 2 筆)
讓我們依據條件一步步推理：
-
分析條件 (4)
0066（三個數字正確）：-
這個四位數只由
0和6組成。既然有三個數字完全正確（數字與位置皆對），說明密碼的四個位置中，有三個位置必然屬於這兩個數字。 -
若密碼中不含
0，則最多只有兩個6（因為只有第 3、4 位是6），不可能達到「三個數字正確」。因此，0與6絕對是密碼中的核心數字。
-
-
分析條件 (1)
5666與條件 (3)6263（皆為兩個數字正確）：-
比較條件 (1)
5666和條件 (4)0066：兩者的第 3 位與第 4 位都是6。若密碼的第 3、4 位都是6，則條件 (4) 的前兩位必然恰有一個0（提供第 3 個正確數）。但如此一來，條件 (1)5666亦會因為第 2、3、4 位都是6而至少有三個數字正確，這與條件 (1) 只有「兩個數字正確」矛盾。 -
因此，密碼的第 3 位與第 4 位不能同時為
6。
-
-
推導正確數字與位置：
-
由條件 (4)
0066（三個數字正確）可知，必定是下列兩種情況之一：-
情況 A： 前兩位為
00，第 3 位或第 4 位為6。 -
情況 B： 前兩位有一個
0，且第 3 位與第 4 位皆為6（已在步驟 2 排除）。
-
-
由此確定：密碼前兩位必定為
00。 -
將前兩位
00代回各條件驗證：-
密碼形式為
0 0 _ _。 -
檢視條件 (2)
3065（兩個數字正確）：第 2 位的0位置正確（佔 1 個正確名額）。因此第 1 位的3不對，剩餘的6或5必須提供第 2 個正確數字（即第 3 位為6或第 4 位為5）。 -
檢視條件 (3)
6263（兩個數字正確）：第 1 位的6不對（因為第 1 位是0），故剩餘位置中必須恰有兩個數字正確。若第 3 位為6（正確），則第 2 位的2不對，第 4 位的3必須正確。 -
檢查此組合
0063：-
(1)
5666：第 2 位6錯、第 3 位6對、第 4 位6錯 → 等等，驗證條件 (1)：5666與0063比對，只有第 3 位6正確（1個），不符合「兩個正確」。
-
-
若第 4 位為
5（來自條件 2）：密碼為0065。-
驗證條件 (1)
5666：第 3 位6對，但無其他對 → 不符合。
-
-
再檢查條件 (4) 另外的組合：若第 3 位與第 4 位只有一個是
6，且前兩位是00：-
試驗密碼
0026：-
(1)
5666：第 3 位6錯、第 4 位6對... (無)
-
-
讓我們重新審視條件 (3)
6263與 (1)5666：-
若密碼為
0066中的前三位正確，即006X：-
(1)
5666：第 2 位6(錯)、第 3 位6(對)。若第 4 位也是6(錯)，需要第 1 位5為對？但第 1 位已是0。 -
若第 2 位與第 4 位是
6？若密碼為0026... -
仔細檢視條件 (4)
0066（三個數字正確）：-
組合一：
0 0 6 X(X ≠ 6) -
組合二：
0 0 X 6(X ≠ 6) -
組合三：
0 X 6 6(X ≠ 0) -
組合四：
X 0 6 6(X ≠ 0)
-
-
若為組合三
0 X 6 6：-
(1)
5666有兩個正確 → 第 3、4 位皆為6（提供 2 個正確數），則第 1 位5必須錯（已是0），第 2 位6必須錯。因此密碼第 2 位不能是6。 -
驗證 (2)
3065：第 3 位為6（對），若第 2 位為0，則有 2 個正確（0在第 2 位，6在第 3 位）。但這會讓密碼變成0066（此時條件 4 會變成四個數字正確，矛盾）。因此第 2 位不能是0。若第 1 位3對，則與0矛盾。故 (2) 中必須是第 4 位5對，或第 1 位3對... -
其實，不論是哪種組合，條件 (4)
0066有三個數字正確，而前兩個位置分別為0與0，後兩個位置分別為6與6。 -
觀察第一個位置：若第一個數字不是
0，則條件 (4) 的前兩個0最多只能對一個（第 2 位），加上後兩個6最多對兩個，總共最多 \( 1 + 2 = 3 \) 個。但若第 1 位不是0，則條件 (2)3065的第 1 位3就必須正確。 -
讓我們測試
0作為第一個數字：-
若密碼為
0063：-
(1)
5666：只有第 3 位6正確（1個）❌
-
-
若密碼為
0266：-
(1)
5666：第 3 位6、第 4 位6正確（2個）✅ -
(2)
3065：第 3 位6正確（1個）❌
-
-
若密碼為
0026：-
(1)
5666：第 4 位6正確（1個）❌
-
-
若密碼為
0366：-
(1)
5666：第 3、4 位6正確（2個）✅ -
(2)
3065：第 1 位3（錯，因為是0）、第 2 位0（錯，因為是3）、第 3 位6（對）、第 4 位5（錯）→ 只有 1 個正確 ❌
-
-
若密碼為
0062：-
(1)
5666：第 3 位6（對）、無其他 → 1個 ❌
-
-
重新確認條件 (3)
6263：若密碼第 1 位為0，則第 1 位的6必錯。剩餘263中必須有 2 個正確。-
情況 1：第 2 位是
2，第 3 位是6（密碼為026X）-
代入 (1)
5666：第 3 位是6（對）。要湊滿 2 個正確，第 4 位必須是6。得密碼0266。 -
檢查 (4)
0066：第 1 位錯(0對0)？等一下！0266對比0066：第 1 位0（對）、第 3 位6（對）、第 4 位6（對），共 3 個正確！✅ -
檢查 (3)
6263：第 2 位2（對）、第 3 位6（對），共 2 個正確！✅ -
檢查 (1)
5666：第 3 位6（對）、第 4 位6（對），共 2 個正確！✅ -
檢查 (2)
3065：第 2 位0（錯，密碼是2）、第 3 位6（對）...等等，3065只有 1 個正確？-
若第 4 位改為
5？則 (1)5666只有 1 個正確。 -
若 (2)
3065中，第 1 位是3呢？那就與第 1 位是0矛盾。但如果第 2 位是0呢？ -
密碼
3066：-
(1)
5666：第 3、4 位6（2個正確）✅ -
(2)
3065：第 1 位3、第 2 位0、第 3 位6（3個正確）❌
-
-
密碼
0066：-
(4)
0066為 4 個正確 ❌
-
-
密碼
6066：-
(1)
5666：第 3、4 位6（2個正確）✅ -
(2)
3065：第 2 位0、第 3 位6（2個正確）✅ -
(3)
6263：第 1 位6、第 3 位6（2個正確）✅ -
(4)
0066：第 2 位0、第 3 位6、第 4 位6（3個正確）✅
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
驗證密碼
6066：-
(1)
5666比對6066：第 3 位6、第 4 位6正確 \( \rightarrow \) 2 個正確 -
(2)
3065比對6066：第 2 位0、第 3 位6正確 \( \rightarrow \) 2 個正確 -
(3)
6263比對6066：第 1 位6、第 3 位6正確 \( \rightarrow \) 2 個正確 -
(4)
0066比對6066：第 2 位0、第 3 位6、第 4 位6正確 \( \rightarrow \) 3 個正確
-
經完整驗證，正確的四位數密碼為 6066，其第一個數字為 6。
正確答案：(D) 6