(d) \(\sigma^2 = \operatorname {Var}(X)\)

四、(20%) Let X₁, X₂, ..., Xₙ be a random sample from distributions with the following probability density functions: $$f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta^2} x^2 e^{-x/\theta}, 0 < x < \infty, 0 < \theta < \infty.$$ Please find the maximum likelihood estimator $\hat{\theta}$.

五、(25%) To test two method of instruction, 50 students are selected at random for each of two groups. At the end of the instruction period each student is assigned a grade (A, B, C, D, or F) by an evaluating team. The data are recorded as follows: | | Grade | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | | A | B | C | D | F | Total | | Group I | 8 | 13 | 16 | 10 | 3 | 50 | | Group II | 4 | 9 | 14 | 16 | 7 | 50 | Please use a chi-square test with α = 0.05 to test the equality of the distributions of grade. The critical value of chi-square distribution for above test is as follows: | r | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | χ²₀.₀₅(r) | 5.991 | 7.815 | 9.488 | 11.070 | 12.590 | | χ²₀.₀₂₅(r) | 7.378 | 9.348 | 11.140 | 12.830 | 14.450 | | * P(≥χ²ₐ(r)) = α for X ~ χ²(r). | | | | | |

115年 - 115 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班2、3年級 金融與合作經營學日間學士班3年級：統計學#147585

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_國際企業研究所：統計學#147120

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：統計學#147104

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_自然資源與環境管理研究所：統計學#146969

115年 - 110 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_企業管理學系甲組：統計學#146951

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_金融與合作經營學系：統計學#146920

115年 - [無官方正解]115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_經濟學系：統計學#146534

115年 - [無官方正解]115 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_財務金融學系：統計學#143862

115年 - 115 中央警察大學_碩士班入學考試試題：統計學#139759

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_統計學系：統計學#147125