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研究所、轉學考(插大)◆線性代數
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99年 - 99 國立高雄大學_博士班招生考試試題_應用數學學系:線性代數#147986
> 申論題
2. (10 pts) Show that
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{pmatrix} i & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
are not unitarily equivalent.
相關申論題
3. Define $e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$. (a) (5 pts) Let \(P^{-1}AP = D\) be a diagonal matrix. Prove that \(e^A = Pe^D P^{-1}\).
#610929
(b) (10 pts) Find \(A, B \in \mathsf{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) such that \(e^A e^B \neq e^{A + B}\).
#610930
4. Let $T$ be the linear operator on $\mathsf{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ defined by $T(A) = A^t$. (a) (6 pts) Show that \(\pm 1\) are the only eigenvalues of \(T\).
#610931
(b) (6 pts) Describe the eigenvectors corresponding to each eigenvalue of \( T \).
#610932
(c) (8 pts) Find an ordered basis \(\beta\) for \(\mathsf{M}{n\times n}(\mathbb{R})\) such that \([T]{\beta}\) is a diagonal matrix.
#610933
5. (15 pts) Let $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ Find a Jordan canonical form $J$ of $A$ and an invertible matrix $Q$ such that $J = Q^{-1}AQ$.
#610934
6. (15 pts) State and prove the Cayley-Hamilton Theorem.
#610935
7. (15 pts) Let \( T \) be a projection on a finite-dimensional inner product space \( V \) such that \( \| T(x) \| \leq \| x \| \) for all \( x \in V \). Prove that \( T \) is an orthogonal projection.
#610936
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