6. (10%) Let $f(x) = \frac{1}{6}, 0 \le y \le 4, y \le x \le y + 2$ be the joint pdf of $X$ and $Y$.

(a) Find the conditional pdf of \( X \) given \( Y = y \) and of \( Y \) given \( X = x \).

(b) Find the conditional expectation of \( X \) given \( Y = y \).

7. (5%) Let $X_1$ and $X_2$ have the joint probability density function $$f(x_1, x_2) = \frac{1}{2}, 0 < x_1 < x_2 < 2$$ Let $Y = \frac{X_1}{X_2}$. Find the probability density of $Y$.

8. (10%) Two components operate in parallel in a device. The device fails when and only when both components fail. The lifetimes, $X_1$ and $X_2$, of the respective components are independent and identically distributed with an exponential distribution with the probability density function. The cost of operating the device is $Z = Y_1 + 2Y_2$, where $Y_1 = \min(X_1, X_2)$ and $Y_2 = \max(X_1, X_2)$ (a) Find the joint probability density function of \(Y_{1}\) and \(Y_{2}\).

(b) Find E[Z].

9. (10%) In a college health fitness program, let $X$ denote the weight in kilograms of a male freshman at the beginning of the program and $Y$ denote the weight change during a semester. Assume $X$ and $Y$ have a bivariate normal distribution with $\mu_X = 75$ and $\mu_Y = 5$, $\sigma_X^2 = 64$, $\sigma_Y^2 = 2.56$ and $\rho = -0.6$. The joint probability density function of a bivariate normal distribution is defined as $$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{q(x, y)}{2}\right)$$ where $q(x, y) = \frac{1}{1-\rho^2} \left[ \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 - 2\rho \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right) \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right) + \left(\frac{x-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2 \right]$. (a) Derive the marginal pdf of \( Y \) and find \( P[2.5 \leq Y \leq 6.5] \). [A detailed derivation is required.]

(b) Derive the conditional pdf of \( Y \) given \( X = x \) and find $P[2.5 \leq Y \leq 6.5 | X = 80]$. [A detailed derivation is required.]

115年 - [無官方正解]115 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_應用外語學系日間學士班3年級：進階英文#147434

115年 - [無官方正解]115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_金融與合作經營學系：經濟學#147384

115年 - 115 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147267

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147271

114年 - 114 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147240

113年 - [無官方正解]113 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_應用外語學系日間學士班2、3年級：進階英文#147505

113年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147270

113年 - 113 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_民俗藝術與文化資產研究所：語文論述能力(民俗與文化)#147238

112年 - 112 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_統計學系日間學士班3年級：機率概論#147570

112年 - [無官方正解]112 國立臺北大學_日間學士班轉學生招生考試試題_應用外語學系日間學士班2、3年級：進階英文#147452