9. Use the method of Lagrange multiplier to find the shortest and longest distance from the origin to curve 9x² + 16xy +21y² = 125.

詳解 (共 1 筆)

助人為本

詳解 #7383323

2026/05/25

所以解這題的第一步就是要先設定目標函數與限制條件

題目要找曲線上一點到原點的距離

所以目標函數可以假設為f=x^2+y^2

接著限制條件就是曲線方程式

接著套入拉格朗日方程式

極值發生條件在目標函數偏微和限制條件偏微平行上，中間為拉格朗日常數

所以接著算梯度並求方程式

而這裡我們可以用比較快的方法來解

就是使用特徵值

把兩式同除以2郎達，然後另k=1/郎達

所以可以利用線性代數的概念來求特徵值

然後特徵值和極值的關係

所以最後只要把k=5、25代入即可

以得到距離平方的最小值，然後把它各自開根號即可得到最小距離和最長距離。