115年 - 115 大學入學考試中心_分科測驗：數學甲#142355

1.已知圖中「粗灰線」橢圓的方程式為\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，試選出最有可能為圖中「粗黑線」圖形方程式的選項。

(A)\( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)(B)\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)(C)\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \)(D)\( \frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 \)(E)\( \frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1 \)

2.已知a₁,a₂,a₃,...為首項為1、公比為r的無窮等比數列(其中r為非零實數)，且知兩無窮等比級數\(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots\)與\(a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2n-1} + \cdots\)皆收斂且其乘積為1。試選出正確的r值。(A)\(-\frac{1}{2}\)(B)\( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \)(C)\( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \)(D)\( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)(E)\( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

3.對任意實數x，試選出函數\(f(x) = \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\)+sinx-√3cosx的最大值。(A)1(B)√2(C)√3(D)1+√2(E)1+√3

4.箱中有編號分別為1,2,3的球各n₁,n₂,n₃顆(其中n₁,n₂,n₃皆為正整數)。隨機抽取，所抽出球的編號為1,2,3的機率分別記為p₁,p₂,p₃。一球(每球被抽中的機率相等)試選出正確的選項。(A)在已知抽出一球且此球不是1號球的條件下，則該球為2號球的機率為\( \frac{p_2}{1-p_1} \)(B)抽出球編號的期望值等於2+p₃-p₁(C)若n₁,n₂,n₃為等差數列，則p₁,p₂,p₃亦為等差數列1(D)若n₁,n₂,n₃為等比數列，則\(p_2 \ge \frac{1}{3}\)(E)若\(p_k < \frac{1}{2}\)對k=1,2,3都成立，則n1,n2,n3可以構成一個三角形的三個邊長

5.設a為實數，關於複數\( z = \frac{a-2i}{1+2i} \)的性質，試選出正確的選項(其中i=√-1，為z的共軛複數)。(A)z的實部為\( \frac{a-4}{5} \)(B)若，則a=1(C)\(|z|^2 \ge \frac{4}{5}\)(D)若a=0，則z的主輻角大於π(E)無論a值為何，z都不會落在複數平面上的第一象限

6.對於實係數多項式f(x)，將閉區間[a,b]分割成三等分段，取每個分段左端點上的f(x)函數值所得到的黎曼和記為\(M_{a}^{b}(f)\)，

即\(M_{a}^{b}(f)=\frac{b-a}{3}\left[f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)\right] ;\)

取每個分段右端點上的f(x)函數值所得到的黎曼和記為\(N_{a}^{b}(f)\)，

即\(N_{a}^{b}(f)=\frac{b-a}{3}\left[f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)+f(b)\right]\)

若已知f(x)及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：

正例如：在開區間(2,3)上，滿足f(x)>0，f'(x)<0且f''(x)<0。試選出正確的選項。(A)在開區間(4,5)上，函數y=f(x)遞增且圖形凹口向上(B)在閉區間[5,6]上，函數y=f(x)的圖形有反曲點(C)\( \int_{2}^{3} f(x) dx < M_{2}^{3}(f) \)(D)\( \int_{4}^{5} f(x)dx > N_{4}^{5}(f) \)(E)\( \int_{6}^{7} f(x) dx > \frac{1}{2} (M_{6}^{7}(f) + N_{6}^{7}(f)) \)

7.考慮函數f(x)=\( \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \)，試選出正確的選項。(A)當x<1時，f(x)都有意義(B)當f(x)與f(-x)都有意義時，f(-x)=-f(x)成立(C)若f(x)>0，則x>0(D)存在實數a，滿足f(a)=-100(E)坐標平面上，y=f(x)的圖形與\(y=10^{\frac{1+x}{1-x}}\)的圖形對直線y=x對稱

8.坐標平面上兩向量滿足=2與=(2,2)。試選出正確的選項。(A)\(|\vec{v}+(1,1)|=1\)(B)\( \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \)(C)\(|\vec{v}| \le 2\)(D)不可能與平行(E)若的夾角為θ，則\(|\vec{u}|\) \(|\vec{v}|\)sinθ≤2√2

9.某甲到菜市場買蓮霧、草莓與葡萄共三種水果，每斤的價格依序為110、190與160元。已知某甲共買了11斤半的水果，共花費1945元，且草莓比葡萄多買了2斤。設蓮霧、草莓與葡萄依序分別買了x、y與z斤，將以上訊息寫成三元一次聯立方程式，再利用高斯消去法化簡得到增廣矩陣\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & \frac{23}{2} \\ 0 & 8 & a & | & 68 \\ 0 & 0 & 1 & | & b \end{bmatrix} \)，則a=，b=。

10.坐標平面上，一圓C的圓心在x軸上，且圓C與兩直線\(L_1 : y = \frac{4}{3}x\)、\(L_2 : y = -\frac{3}{4}x^1\)皆不相交。設圓C上的點到L₁之最短距離為d₁，圓C上的點到L₂之最短距離為d₂。若d₁是d₂的三倍，則過原點(0,0)且與圓C相切的直線，其斜率為。(化為最簡根式)

11.某甲參加一遊戲，其規則如下：

在第一階段連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數X為出現點數大於4點的次數，若X≥3才可進入第二階段，否則就淘汰。

第二階段仍然連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數Y為出現偶數點數的次數，若Y=X-1才可獲獎，否則就淘汰。

則在某甲獲獎的條件下，X=3的機率為。(化為最簡分數)

12.試證明q(0)=q(1)。(非選擇題，2分)

13.試求p(x)。(非選擇題，4分)

14.試求多項式函數\( \int_{1}^{x} (p(t) - q(t)) dt \)在閉區間\( \left[ \frac{1}{2}, 3 \right] \)上的最大值與最小值。(非選擇題，6分)

15.點(1,0,0)到E₁的距離為。(化為最簡根式)(選填題，2分)

16.設另一平面E₃與L平行且包含直線\( \begin{cases} x = 3+t \\ y = -2-t \\ z = 2+3t \end{cases} \)，t為實數，試求平面E₃的方程式。(非選擇題 ， 4 分 ）

17.承16，設另一平面E與三平面E₁,E₂,E₃皆垂直，且設E分別與E₁、E₂、E₃的三條交線在E上所圍出的三角形為Γ。試證明Γ為正三角形並求Γ的邊長。(非選擇題，6分)