115年 - 115 臺南市市立國民中學正式教師聯合甄選試題：數學專門科目#141475

1. 求曲面+ y 3 + ＝4 在其上一點 (4, 1, 1) 上的切平面方程式為何？ (A) x + 12y + z＝17 (B) x + 12y + 2z＝18 (C) x + y + 12z＝17 (D) x + 2y + 12z＝18 2 −1 0

2. 設 α₁ , α₂ , α₃ 為矩陣 A＝的三個特徵值(eigenvalues)，則α₁³ + α₂³+ α₃³ ＝？(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 35

3. 設 x＝，則 x³+3x+2 之值為何？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

4. 下列何者不是 11 的倍數？ (A) 24¹⁰⁰−1 (B) 3⁹⁰−1 (C) 63³⁴−4 (D) 17⁴⁸+4

5. 設年利率為 8%，若依複利計算，則至少要 n 年(取整數年數)本利和才會超過本金的 3 倍。求 n＝？ (log 2＝0.301，log 3＝0.477 ) (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17

6. 設點 A(3, 0)，P 為雙曲線 x² − y² ＝1 上任一點，則之最小值為何？ (A) (B) (C) (D)

7. 橢圓的參數方程式 { (θ為參數)，則它的焦點坐標可能為何？ (A) (−7, 4) (B) (3, 4) (C) (−3, 0) (D) (−3, 8)

8. 在△ABC 中，若 2cos A sin B＝sin C，則△ABC 一定是何種三角形？ (A) 等邊三角形 (B) 直角三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等腰三角形

9. 求＝？(A) 1 (B) ln2 (C) 2 (D) ln3

10. 求 (A) 1 (B) (C) (D)

11. 兩個向量滿足的值為何？ (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 9 2−x

12. 已知 f (x)＝，定義 f₁ (x)＝f (x)、f_n+1 (x)＝f (f_n (x))，則 f₁₀(x)＝？ (A) (B) (C)(D) x 3

13. 滿足的實數解有幾個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

14. 關於導數(derivatives)與微分的性質，下列敘述何者正確？ (A) 若函數 f (x)可微分，則 f ( )的導數為 ? (B) 若 f (x)＝xe²，則 f ′ (x)＝e²+2xe (C) 若 f (x) ＝|x³ + 2x|，則 f ′ (x)＝|3x² + 2| (D) 若 f (x)＝tan^{2 x}且g(x)＝sec² ?，則 f ′ (x)＝g′(x)

15. 關於定積分與反導數(antiderivatives)的性質，下列敘述何者正確？ ? (A) 若 f為連續函數，則的最小值發生在x＝3處 (B) 若 f為連續函數，則之值必為與x無關之常數 4 (C) 若，則函數 f 在閉區間[1,4]上的平均值為 4 (D) 偶函數(even functions)的反導數必為奇函數(odd functions)

16. 設級數 S＝3+3✖5+3+5²+......+3✖5¹²，則下列何者正確？ (A) S 為 10 位數，個位數為 6 (B) S 為 10 位數，個位數為 3 (C) S 為 9 位數，個位數為 2 (D) S 為 9 位數，個位數為 3

17. 已知圓 x²+y²+4 x+k y+m＝0 與直線 2 x−3y＝7 相切於點(1 ,−1)，則 2k+m＝？ (A) −27 (B) −21 (C) −15 (D) 2(E)一律給分

18. 某城市有一種傳染病的診斷方法，根據過去的醫學經驗得知：確定染病的人經檢查被確診為患病的可能性為 70%；而健康的人經檢查卻被誤診為患病的可能性為 10%。已知該城市中實際患有此疾病的人口比例為 2%。若從該城市中隨機抽取一人進行檢測，請問該診斷方法對全體市民所造成的「誤診率」(即檢測結果與實際患病情況不符的機率) 為多少？ (A) 10.4% (B) 12% (C) 30.6% (D) 40% 1

19. 設 A 與 B 皆為 3✖3 的方陣，已知 A 的行列式值為−7，B 的行列式值為，試求矩陣−3ATB-1 的行列式值為何？ (A) −378 (B) 378 (C) (D) 42

20. 設f (x)為一個三次多項式，若y＝f (x)的圖形通過平面上的四個點：( − 3,120)、( − 2,51)、(3, − 24)與(4, − 69)，則此多項式的三次項係數為何？ (A) −2 (B) 5 (C) −6 (D) 3

21. 有一數列a₁ + 3, a₂ + 6, a₃+ 9, ...... , a₉+27, a₁₀ +30共計 10 項，其和為 295。求之值為何？ (A) 130 (B) 350 (C) 360 (D) 370 y

22. 如圖(一)，設 m 為實數，若 P 點的坐標為(2﹐3)。下列選項中，哪一個點坐標代入二元一次方程式 y − 3＝m × (x − 2)後，所得之 m 值最小？(A) A 點 (B) B 點(C) C 點(D) D 點

23. 若 a﹐b﹐k 為實數，a (x² − 4xy + 5y² − y) + b (3x² − 3y²+ x) + 12xy − 38x + 12y + k＝0的圖形為一個圓且圓半徑為 2。關於此圖形的敘述，四位學生提出說明如下﹕
甲說：a 的值為 2，b 的值為 3
乙說：此圓的圓心是
丙說：k＝
丁說：k＝
請問：誰提出的說明正確？ (A) 只有甲和乙 (B) 只有甲和丙 (C) 只有乙和丁 (D) 只有甲、乙和丁

24. 坐標空間中有三個相異平面 E1，E2，E3 皆通過 (−1, 2, 0) 與(1, 1, 1)兩點。坐標空間中另有甲(2,−1, 1)、乙(3, 0, 2)、丙(−3, 3, 1)、丁(21,−9, 11)四點。請問下列哪些點也同時在此三平面上？ (A) 只有甲和乙 (B) 只有乙和丙 (C) 只有乙和丁 (D) 只有丙和丁

25. 如圖(二)，有一矩形 ABCD 內接於一個直徑為 4 的半圓形內。求此矩形的最大面積為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 4 (D) 5