115年 - 115-2 國立高科實驗高級中等學校_教師甄選初試試題：國小部-普通科(數學)#141401

1. 設 a, b, c 為正整數，如果 a 為 15 的倍數，b 為 12 的倍數及 c 為 21 的倍數，則下列何者恆正確？ (A) $(a+b+c)^2$ 必為 9 的倍數 (B) a+b+c 必為 9 的倍數 (C) a+b+c 必為 2 的倍數 (D) $a^2+b^2+c^2$ 必為 18 的倍數

2. 設 a 為實數，如果 $A = \left( \frac{\sqrt{|a|-3} + \sqrt{3-|a|}}{3-a} + \frac{2a}{1+a} \right)^{200}$，則 A 的個位數字為下列何者？ (A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9

3. 有一組數據：2, 4, 6, a, 7, 9 的算術平均數為 b，其中 a為正整數且 b > 0。如果 a, b 為一元二次方程式 $(x-3)^2 = x-1$ 的二個解，則此組數據的中位數為下列何者？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

4. 已知一長方體的體積為 8 立方公分，其表面積(即六個面的面積和)為 32 平方公分，如果此長方體的長、寬及高成等比數列，則此長方體最大的邊長為下列何者？ (A) $3 - \sqrt{5}$ (B) 2 (C) 3 (D) $3 + \sqrt{5}$

5. 長方形 ABCD 中，E 為 $\overline{BC}$ 中點，F 為 $\overline{CD}$ 中點。如果 $\angle AEF$ 為直角， 如圖所示，則 $\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}$ 之比值為下列何者？

(A) $\frac{1}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (D) $\sqrt{2}$ 

 1. 有一邊長為 2 的正方形，今將此正方形截去四個大小相同的角後，變成正八邊形，則此正八邊形的邊長為______。

2. 已知一袋子裡有 11 顆球，分別編上號碼 1、2、3、…、10、11，今同時隨機取出 6 顆球，每顆被取出的機會相等，若取出的 6 顆球之號碼和為奇數，則其機率為______。 

3. 已知實數 a 為方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 的二個解中最大值，則 $2a^2 - 5a - 1 + \frac{2}{a^3 + 1}$ 之值為______。 

4. 如圖，ABCD 和 CEFG 為兩個正方形，且 $\overline{FG} = 4$，則 $\Delta AEG$ 的面積為______。

5. 已知 a, b, c 為實數，且 a ≠ b，如果 $3(a-b) + \sqrt{3}(b-c) + (c-a) = 0$，則 $\frac{(c-b)(c-a)}{(a-b)^2}$ 之值為______。

三、計算題(8 分)

$\Delta ABC$ 中，已知 D 為邊 $\overline{BC}$ 上一點，使得 $\angle CAD = \angle DAB = 60^\circ$；如果 $\overline{AB} = 4$, $\overline{AC} = 2$，試求 $\overline{AD}$ 之長。

1. 學生在計算如 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，最常出現「分子加分子、分母加分母」得到 $\frac{2}{5}$ 的錯誤，請從認知發展或分數概念的角度，說明學生產生此迷思的原因。

2. 請針對該迷思概念設計一個貼近學生生活經驗的情境布題，並說明如何運用具體操作物（或圖像表徵），引導學生理解「通分」與「異分母相加」的算則過程。