115年 - 115 高等考試_二級_機械工程：自動控制學#145822

一、如下圖所示，一質量為 \( M \) 之物體於一光滑導軌上，此導軌中心點安裝於一自由旋轉軸上，右側距中心點 \( L \) 的位置施加一外力 \( F \)，當導軌旋轉時因重力作用質量 \( M \) 可沿導軌進行直線滑動。左側與施力點等距的位置安裝一彈簧 \( (K) \) 與阻尼器 \( (B) \) 以限制導軌之轉動。質量 \( M \) 距滑軌中心點的距離為 \( x \)，座標系如圖所示以左方為正。導軌之旋轉角度為 \( \theta \)，順時針為正，導軌水平時 \( \theta = 0^\circ \)，且此時彈簧 \( K \) 與阻尼器 \( B \) 處於其自然位置，其作用力為 \( 0 \)。假設小角度 \( \theta (\sin\theta = \theta) \) 且 \(|x|，忽略導軌的慣性效應，寫出此系統於 x與 \( \theta \) 兩自由度上的運動方程式，並討論在小角度假設下，此系統是否可視為一線性系統。若否，提出可行的假設以線性化此系統。 (25 分)

二、如下圖之單位負回授控制 (unity negative feedback control) 架構，其受控 廠之開路轉移函數為 \( G_p(s) = \frac{s-2}{s-10} \)，請使用根軌跡分析，比較\( G_c(s) \)之設 計使用 PID 控制法則(\( G_c(s) = K_p + \frac{K_I}{s} + K_D s \))，或用相位提前-相位落後 補償器 (lead-lag compensator, \( G_c(s) = \frac{\tau_1 s+1}{\tau_2 s+1} \)) 的差異，並說明何者有機 會藉由控制參數設計以使閉迴路系統穩定。(25 分)

(一)請寫出為使閉迴路系統穩定， K P 與 K I 所須滿足的條件。 （10 分）

(二)以根軌跡分析說明，雖然此 PI 控制有兩個獨立可調參數，但此閉迴路 系統之共軛複數根無法隨意由設計者同時指定阻尼比與自然頻率，並藉 以說明此系統之步階響應上升時間（rise time）必然受限的原因。 （15 分）

(一)判斷此系統的相位邊限（phase margin） 、增益邊限（gain margin） ，以 及其波德圖（Bode plot）是否會呈現顯著的共振（resonance）現象。 （15 分）

(二)請判斷此受控廠之型態，以及其根軌跡的漸近線數目。（10 分）