93年 - 93 經濟部辦理台電公司及中油公司_新進職員甄試試題_油層：工程數學#147388

1. $y'+2y^3+3\cos x=x^6$

2. 5$y''+6e^x\sin x+y+7x=0$

3. $(y')^2+5xy^4+30x^5=0$

4. $(1+x^3)(5dy+8dx)=10xydx$

5. $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+8x^5+\sin y=u^2$

6. $(x+y)^2y'=1$

7. $xy'+(y'')^2=xy^2$

8. $[1+(y')^2]^{1/2}=3y''$

9. $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-(\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y})^2=0$

10. y'(x)=|y(x)|

11. $\begin{cases} \frac{dx}{dt}=2x+3y \\ \frac{dy}{dt}=x-y \end{cases}$

12. $\begin{cases} \frac{dx}{dt}=x-y+z+t \\ \frac{dy}{dt}=x+2y-z+1 \\ \frac{dz}{dt}=2x-y+z+e^t \end{cases}$

13. $\begin{cases} \frac{dx}{dt}=2x-y+e^t \\ \frac{dy}{dt}=x+y+t \end{cases}$

14. \( \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = tx + y + \sin t \\ \\ \dfrac{dy}{dt} = t^2 x + ty + 1 \end{cases} \)

15. $\begin{cases} \frac{dx}{dt}=y \\ \frac{dy}{dt}=-2x+3y \end{cases}$

貳、計算題：
1. 將下列函數對t進行微分
(a) f(x,y,z,t) (2分)
(b) f(x(t),y(t),z(t),t) (2分)
(c) $f(x(s(t)),y,z(t),t^2)$ (2分)
(d) 設f (x,y,z)=x²+xz+2y²
若 $x(t)=t,y(t)=t^2,z(t)=t^3$，則 $\frac{df}{dt}=?$ (4分)

2. 解下列微分方程式初始值(initial value)問題。(10分)
y''+y=0, y(0)=0, y'(0)=1
提示：$L\{\frac{d^2 y}{dt^2}\}=s^2 L\{y(t)\}-sy(0)-y'(0)$

3. 利用A之特性方程式(characteristic equation of A)
求下列矩陣方程式之一般解(general Solution)。(15分)
$X'=AX, A=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$

4. 有一蛋糕剛從烤箱中拿出來時的溫度是 $300^\circ F$，三分鐘後溫度變成$200^\circ F$，當時的室溫是$70^\circ F$，請問需要多久(從烤箱中拿出來時開始算起)，蛋糕的溫度會降到 $70.5^\circ F$？(15分)
提示：1. 牛頓冷却定律為 $k(T-70)$
2. 導出通式 $T(t)=A+ce^{kt}$ 即可，解 A,c,k 值後代回通式。