10. 試求向量 $b = (1,2,2)$ 在子空間 $W = \text{span}\{(1,1,0), (1,0,1)\}$ 上的正交投影為何？


(A) $(1,1,1)$


(B) $(2,1,1)$


(C) $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$


(D) $(1,2,0)$

11. 設 $P_2$ 為次數不超過 2 的實係數多項式空間。有一線性映射 $T: P_2 \rightarrow P_2$ 定義為 $T(p) = p' + p(0)$。若以 $B = \{1, x, x^2\}$ 為基底，將 $T$ 表示為矩陣 $M$，滿足 $[T(p)]_B = M [p]_B$。則矩陣 $M$ 為何？(A) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$(B) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$(C) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$(D) $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

12. 對 $u_1 = (1,1,0)$、$u_2 = (1,0,1)$ 依此順序作 Gram-Schmidt 正交化時，第二個非零正交向量可取為下列何者？(A) (1,1,0)(B) (1,0,1)(C) (0,1,-1)(D) (1,-1,2)

13. 設 A 為 2✖2 可逆矩陣，且 $\text{tr}( A ) = 5$、$\det( A ) = 6$。求 $\text{tr}(A^{-1})$。(A) $\frac{6}{5}$(B) $\frac{5}{6}$(C) 1(D) $\frac{11}{6}$

14. 求數列 $a_n = n(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ 的極限。(A)0(B) $\frac{1}{2}$(C) 1(D) 發散

15. 下列集合何者在 $\mathbb{R}$ 中為緊緻集 (compact set) ?(A) $(0,1)$(B) $[0, \infty)$(C) $\left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, n \geq 1\right\}$(D) $\{0\} \cup \left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}, n \geq 1\right\}$

16. 令 $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q}, \end{cases}, x \in [0,1]$. 下列敘述何者正確？(A) $f$ 黎曼可積 (Riemann integrable)，且積分值為 0(B) $f$ 黎曼可積，且積分值為 1(C) $f$ 不是黎曼可積，其下積分 (lower integral) 為 0、上積分 (upper integral) 為 1(D) $f$ 在所有無理點 (irrational points) 連續

17. 令 $S = \{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}$ 為 $\mathbb{R}$ 的子集。試求 $S$ 的最小上界 $\sup S$ 之值為何？(A) $S$ 無最小上界(B) 1(C) $\sqrt{2}$(D) 2

18. 初值問題 $\begin{cases} y' + 2y = e^{-x} \\ y(0) = 0 \end{cases}$ 之解為何？(A) $y(x) = e^{-x}$(B) $y(x) = e^{-2x}$(C) $y(x) = e^{-x} - e^{-2x}$(D) $y(x) = e^{-2x} - e^{-x}$

19. 初值問題 $\begin{cases} y' = y(1 - y) \\ y(0) = \frac{1}{2} \end{cases}$ 之解為何？(A) $\frac{1}{1+e^x}$(B) $\frac{1}{1+e^{-x}}$(C) $e^{-x}$(D) $\frac{1}{2}$

20. 在加法群 $\mathbb{Z}_{12}$ 中，元素 [8] 的階 (order) 為何？(A) 2(B) 3(C) 4(D) 6

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