40. 英文段考的成績非常不理想，王老師決定將全班的每個人的分數都加5分，請問全班英文成績的統計量數會有什麼變化？
(A)全距變大
(B)標準差不變
(C)中位數不變
(D)眾數變小

這題考的是統計量數在數據「線性平移（加減常數）」下的變化情形，屬於描述統計的基本概念。

? 題幹重點：

每個學生的分數都加 5 分，也就是整體資料進行「加上常數」的處理。

✅ 加減常數對統計量的影響整理：

(A) 全距（Range）

定義：
資料中最大值與最小值之間的差距。
公式：

全距 = 最大值 − 最小值
用途：
用來衡量資料的總變化範圍，但對極端值（outliers）非常敏感。

(B) 標準差（Standard Deviation）

定義：
衡量資料點與平均數之間的平均距離，是一種常用的變異數量度。
公式（母體）：

σ=1N∑i=1N(xi−μ)2\sigma = \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2 }σ=N1​∑i=1N​(xi​−μ)2​
公式（樣本）：
s=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s = \sqrt{ \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 }s=n−11​∑i=1n​(xi​−xˉ)2​
用途：
反映資料分布的離散程度，標準差越大，代表資料分布越分散。

(C) 中位數（Median）

定義：
將資料依大小排序後，處在正中央位置的數值。

• 若資料筆數為奇數：中位數是最中間那一筆。

• 若資料筆數為偶數：中位數是中間兩筆的平均。
  用途：
  表示資料的「中間值」，對極端值不敏感，適合用於偏態資料。

(D) 眾數（Mode）

定義：
在資料中出現次數最多的數值。

• 一組資料可能有 一個眾數（單峰）、多個眾數（多峰），甚至 沒有眾數（所有數出現頻率相同）。
  用途：
  適用於類別資料，也可用於找出最常見的數值。

這題的正確答案是 (B) 標準差不變。

題目解析

這題考的是統計學中，當數據進行「線性平移（所有數值同時加或減一個常數）」時，各個統計量數的變化規律。

當全班每個人都固定加上 5 分時：

1. 差異量數（代表資料的分散程度） $\rightarrow$ 不變

• 標準差（Standard Deviation）與全距（Range）：

  因為每個人都加了 5 分，最高分和最低分同時往右移 5 格，他們之間的相對距離與分散程度完全沒有改變。

  • (B) 標準差不變 $\rightarrow$ 正確（本題答案）。

  • (A) 全距變大 $\rightarrow$ 錯誤，全距應該「不變」。

2. 集中量數（代表資料的中心位置） $\rightarrow$ 跟著加 5 分

• 平均數、中位數、眾數：

  因為整個分數分佈圖形直接往右平移了 5 分，所以所有的中心點指標都會跟著增加 5 分。

  • (C) 中位數不變 $\rightarrow$ 錯誤，中位數會「增加 5 分」。

  • (D) 眾數變小 $\rightarrow$ 錯誤，眾數會「增加 5 分」。

? 核心口訣複習

當數據「同時加減常數」時：

• 集中量數（平均數、中位數、眾數）：會變（同步加減）。

• 差異量數（標準差、變異數、全距）：不變。

• 相對地位（百分等級 PR、Z 分數）：不變（你的排名和相對位置還是一模一樣）。