114年 - 114 桃園市立陽明高中_教甄試題：數學科#126908

1. 設實係數多項式 f(x)=2x³+x2+2x+- ，則 f (x) = ____________。

2. 有 6 個紅球，3 個藍球，3 個黃球，將這些球放置於一條線上，假設同色球沒有區別，試問 同色球不相鄰的放法有____________種。

3. 在 ABC 中， ， 為 ∠A 的角平分線且 ，若已知 △ABC 的面積為 1， 試求的最小值為___________。

4. 在複數平面上，設複數 z= a +bi  ，a,b∈R  ，且  a²+b² =1 ，試求│ z²+ z − 6 │之最大值為___。

5. 方程式  sin⁸x +cos⁸ x =m 若有實數解，則 m 的範圍為____________。

6. 已知數列中， a ₁=1 ，當 n ≥ 2 時，其前 n 項和 滿足  ，求 的表達式為_______。

7. 已知橢圓 Γ 與雙曲線有相同焦點，且 Γ 上一點 P 在直線 L  : x-y+9 =0 上，若欲使橢圓 Γ之長軸最短，此時 Γ 之方程式為_____。 

10. 求的值＝_____ 。(若發散填「不存在」)

11. 袋子裡有七顆球，其中 1 號球三顆、2 號球四顆。以取後放回方式，每次隨機抽取兩球(每 球被取到機率均等)，並記錄此兩球號碼，若兩球號碼相同，則可重複再隨機抽取兩球，直 至兩球號碼不同則停止抽取，完成一輪操作。令隨機變數 X 表示每輪取出球號碼總和，求 X 的期望值＝_____ 。

( Ex1：某輪先取出   兩球 1 號   ，再取出   兩球 2 號   ，再取出    一球 1 號一球 2 號   ，則 X=2+4+3=9 ；

Ex2：某輪先取出   兩球 2 號   ，再取出   兩球 2 號   ，再取出   一球 1 號一球 2 號   ，則 X=4+4+3=11。)

12. 甲乙兩人進行   每局 8 分   的桌球比賽，兩人實力相當(每一分甲乙獲勝機率各 ，先得 8 分者 獲勝)，已知這局比賽結果甲 8: 6 獲勝，則這局比賽過程中，兩人分差保持   最多相差兩分    的機率＝ _____。

 (分差保持最多相差兩分意思是：這局比賽過程中， │  甲分數 −  乙分數│≤2 。) (以指數型式作答即可)

二、 作圖、計算證明題
1. 設 x、y、z 為正實數，且滿足 x+ y+ z  =1 ，試證：

(1) 當 a = 0，1≤x≤ 2，且 P 恆為正值時，此時 y 的範圍為何？

(2) 若對 x ≠ 2 的一切正實數 x ，均有 y 使得 P = 0 ，試問實數 a 的範圍？

(1) 請用 p 表示 X 的變異數＝ 。(此小題不需計算過程。) 

(2) 利用 Var(X)=E(X²) -[E(X)]²及上述已知條件，證明第(1)小題答案。(亦可利用 Var(X)=E[ X( X-1)] +E(X)-[E(X)]² 證明)

4. (1) 在 xy 平面上畫出 polar equation r = 4sinθ

(2) 在 xy 平面上畫出 f(x)= (需標出反曲點坐標) 

(3) 求的值＝_____ 。(此小題不須計算過程)